Çevrel Çember Alan Formülü
Üçgen alanının kenar uzunlukları a, b, c ile çevrel çember yarıçapı R cinsinden A(ABC) = a·b·c4R biçiminde ifade edilmesinin çap, benzerlik ve alan formülü ile ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen; O merkezli çevrel çemberin yarıçapı R, |BC| = a, |CA| = b, |AB| = c ise A(ABC) = a·b·c4R dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Merkezden geçen [AD] çapı ve [BD] ile [AH] çizilir; çapı gören çevre açısı 90° ve aynı yayı gören çevre açıları eşit olduğundan DBA ~ CHA benzerliği kurulur, h = bc2R bulunup alan formülüne yazılır.- 1Veri
ABC bir üçgen; O merkezli çevrel çemberin yarıçapı R; |BC| = a, |CA| = b, |AB| = c
Veri ve tanımlar
- 2Yapı
Merkez O noktasından geçen [AD] doğru parçası çizilir; |AD| = 2R. [BD] ile ABC üçgeninin [BC] kenarına ait yüksekliği [AH] çizilir.
Çap ve yükseklik yardımcı yapıları oluşturulur.
- 3Çıkarım
m(∠ABD) = 90°
Çembere oturan ve çapı gören ABD açısı dik açıdır (Thales teoremi).
- 4Çıkarım
m(∠ADB) = m(∠ACB) = α
Aynı AB yayını gören çevre açıları eşittir.
- 5Çıkarım
△DBA ~ △CHA
∠ABD = ∠AHC = 90° ve ∠ADB = ∠ACH = α (A-A benzerliği).
- 6Çıkarım
|AB||AH| = |AD||AC| ⇒ ch = 2Rb ⇒ h = b·c2R
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır; |AH| = h yazılır.
- 7Çıkarım
A(ABC) = 12·|BC|·|AH| = 12·a·b·c2R
Taban · yükseklik2 alan formülü uygulanır.
- 8Sonuç
A(ABC) = a·b·c4R
Adım 7 sadeleştirilir.
Sonuç ∎
Çevrel çember alan formülü: A(ABC) = a·b·c4R elde edilir. ∎Çevrel Çember Alan Formülü Hakkında
Çevrel çember alan formülü, ABC üçgeninde çevrel çember yarıçapı R iken A(ABC) = a·b·c4R bağıntısını verir. TYT–AYT geometride çevrel çember yarıçapı ve alan sorularının temel formülüdür.
İspat, merkezden geçen [AD] çapı ve [BD], [AH] çizilir; çapı gören çevre açısı 90° ve aynı yayı gören merkez–çevre açı ilişkisi kullanılır. Sinüs alan formülü ve çevre açı teoremi ön koşuldur. Sinüs teoremi ispatının (a\sin \alpha = 2R) temel adımlarından biridir.
ÖSYM'de çevrel çember yarıçapı verildiğinde alan hesaplama sorularında bu formül kullanılır. Adım adım kanıtı takip ederken sinüs teoremiyle bağlantıyı not etmek, trigonometrik üçgen araç setini bütünleştirir.
A = abc4R formülü, TYT–AYT'de çevrel çember yarıçapı ve alan sorularının standart aracıdır. Sinüs teoremi ispatının (a\sin \alpha = 2R) temel adımlarından biridir. ÖSYM'de R verildiğinde alan veya kenar hesaplama sorularında doğrudan uygulanır. Çevrel çember yarıçapı R sorularında a\sin \alpha = 2R ile A = abc4R formülleri birlikte kullanılır; sinüs teoremi ispatıyla birlikte okumak trigonometrik araç setini tamamlar.