Çemberde Çevre Açı Teoremi
O merkezli çember üzerinde A, B, C noktaları için m(ABC) = x ve AC yayının ölçüsü α iken x = α2 bağıntısının yarıçap, ikizkenar üçgen ve dış açı teoremi ile ispatı.
Teorem
A, B, C noktaları O merkezli çember üzerinde olmak üzere, m(ABC) = x, AC yayının ölçüsü α ise x = α2 dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Yarıçaplar çizilir; B köşesindeki çevre açı a + b olarak ayrılır; ikizkenar üçgenlerle merkez açılar 2a ve 2b bulunur; merkez açı = yay ölçüsü bağıntısıyla sonuç elde edilir.- 1Yapı
[OA], [OB], [OC] yarıçaplarını ve O noktasından geçen [BP] doğrusunu çizelim; m(ABO) = a ve m(CBO) = b diyelim
İspat inşasının başlangıcı; çevre açı x = a + b olarak ayrılır.
- 2Çıkarım
AOB ve COB üçgenleri ikizkenar ⇒ m(BAO) = a, m(BCO) = b ⇒ x = a + b
|OA| = |OB| = |OC| = r olduğundan ikizkenar üçgenlerde eş kenarlara karşı açılar eşit.
- 3Çıkarım
m(AOP) = 2a ve m(COP) = 2b
Bir üçgende dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
- 4Çıkarım
m(AOC) = α ⇒ 2a + 2b = α ⇒ a + b = α2
Merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir; m(AOC) = 2a + 2b.
- 5Sonuç
x = α2
Adım 2 ve 4 birleştirilir: x = a + b = α2.
Sonuç ∎
Çemberde çevre açı teoremi: x = α2 elde edilir. ∎Çemberde Çevre Açı Teoremi Hakkında
Çemberde çevre açı teoremi, A, B, C çember üzerinde iken m(ABC) = x ve AC yayı α ise x = \alpha2 olduğunu belirtir. TYT–AYT geometrinin temel çember teoremlerinden biridir; ÖSYM'de yay–açı, kiriş açısı ve çember içi açı sorularının omurgasını oluşturur.
İspat, yarıçaplar çizilir; B köşesindeki çevre açı a + b olarak ayrılır; ikizkenar üçgenlerle merkez açılar eşitlenir. Paralel doğru ve ikizkenar üçgen özelliklerini bilmek yeterlidir. Kesişen kirişler, teğet–kiriş ve dış kesen açı teoremleri bu temel sonuca dayanır.
Adım adım ispatı takip ederken merkez açı ile çevre açı farkına dikkat etmek, "aynı yayı gören açılar" kuralını tüm çember sorularında doğru uygulamanızı sağlar.
x = \alpha2 kuralı, TYT–AYT çember sorularının temel taşıdır; "aynı yayı gören çevre açı merkez açının yarısıdır" ifadesinin matematiksel karşılığıdır. ÖSYM'de yay ölçüsü verildiğinde çevre açı doğrudan yarıya bölünür. Kesişen kirişler, teğet–kiriş ve dış kesen açı teoremleri bu sonuca dayanır. "Aynı yayı gören çevre açılar eşittir" kuralı, kirişler dörtgeni ve teğet–kiriş sorularının temelidir; merkez açı = 2 × çevre açı ilişkisini ezberlemek TYT çember sorularını hızlandırır.