Kesişen Kirişler Açı Teoremi
O merkezli çemberde [AC] ∩ [DB] = P, m(APB) = x, DC yayının ölçüsü α, AB yayının ölçüsü β iken x = α + β2 bağıntısının çevre açı ve üçgen açıları toplamı ile ispatı.
Teorem
A, B, C, D noktaları O merkezli çember üzerinde olmak üzere, m(APB) = x, DC yayının ölçüsü α, AB yayının ölçüsü β ise x = α + β2 dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[AB] birleştirilir; çevre açı teoremiyle m(CAB) = γ2 ve m(DBA) = θ2 yazılır; △ABP açıları toplamı ile çemberin tam açı toplamı birleştirilir.- 1Yapı
A ile B noktalarını birleştiren [AB] doğru parçasını çizelim; AD yayının ölçüsü θ, BC yayının ölçüsü γ olsun
İspat inşası; yardımcı üçgen ABP oluşturulur.
- 2Çıkarım
m(DBA) = θ2 ve m(CAB) = γ2
Çevre açı teoremi: bir yayın ölçüsünün yarısı, o yayı gören çevre açının ölçüsüdür.
- 3Çıkarım
△ABP ⇒ γ2 + θ2 + x = 180° (1)
Bir üçgenin iç açıları toplamı 180° dir.
- 4Çıkarım
α + β + θ + γ = 360° ⇒ α + β2 + θ2 + γ2 = 180° (2)
Çemberin tamamındaki yayların ölçüleri toplamı 360° dir; her iki taraf 2'ye bölünür.
- 5Sonuç
(1) ve (2) ⇒ x = α + β2
Her iki denklemde θ2 + γ2 ortak olduğundan sadeleştirilir.
Sonuç ∎
Kesişen kirişler açı teoremi: x = α + β2 elde edilir. ∎Kesişen Kirişler Açı Teoremi Hakkında
Kesişen kirişler açı teoremi, çember içinde kesişen [AC] ve [BD] kirişleri için m(APB) = x, DC yayı α, AB yayı β iken x = \alpha + \beta2 olduğunu ifade eder. TYT–AYT geometride çember iç açı sorularının standart formülüdür.
İspat, [AB] birleştirilir; çevre açı teoremiyle m(CAB) = \gamma2 ve m(DBA) = \theta2 yazılır; △ABP açıları toplamından x türetilir. Çevre açı teoremi ön koşuldur. ÖSYM'de kesişen kirişlerle oluşan açı sorularında doğrudan uygulanır.
Adım adım ispatı takip ederken hangi yayın hangi çevre açıya karşılık geldiğine dikkat etmek, kesişen kirişler iç kuvvet teoremi ispatında aynı yapı taşlarını tanımanıza katkı sağlar.
x = \alpha + \beta2 formülü, TYT–AYT'de çember içi kesişen kiriş açı sorularının standart çözüm yoludur. ÖSYM'de iki yay ölçüsü verildiğinde kesişim açısı doğrudan yazılır. Çevre açı teoremi ispatını önceden bilmek zorunludur. İki yay ölçüsü α ve β verildiğinde kesişim açısı \alpha + \beta2 doğrudan yazılır; ispatı okurken △ABP açı toplamı adımına dikkat etmek benzer açı sorularında hata yapmanızı önler.