Dik Üçgende Teğet Parçaları Alan Formülü
Dik üçgende iç teğet çemberin hipotenüse değme noktası BC kenarını m ve n parçalarına böler; A(ABC) = m·n bağıntısının teğet eşitliği, kare yapısı ve Pisagor ile ispatı.
Teorem
A köşesinde dik açı olan ABC üçgeninde; O merkezli ve r yarıçaplı iç teğet çember hipotenüs [BC] üzerinde D noktasında teğet olsun. |BD| = m, |DC| = n ise A(ABC) = m·n dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Teğet parçalarının eşitliği ile |BF| = |BD| = m, |CD| = |CE| = n bulunur; AFOE karesinden |AF| = |AE| = r elde edilir. Alan toplamı A = r(m+n+r) verir; Pisagor ile r(m+n+r) = mn sadeleştirilerek sonuç çıkarılır.- 1Veri
A köşesinde dik açı olan ABC üçgeni; O merkezli iç teğet çemberin yarıçapı r; teğet noktaları D ∈ [BC], E ∈ [AC], F ∈ [AB]; |BD| = m, |DC| = n
Veri ve tanımlar
- 2Yapı
O noktasından D, E, F teğet noktalarına [OD], [OE], [OF] çizilir; [OD] ⊥ [BC], [OE] ⊥ [AC], [OF] ⊥ [AB]
Merkezden teğet noktasına indirilen doğru, teğete diktir.
- 3Çıkarım
|BF| = |BD| = m ve |CD| = |CE| = n
Bir çembere dış noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşittir.
- 4Çıkarım
AFOE dörtgeni bir karedir; |AF| = |AE| = r
A, F, O, E noktalarında dik açılar ve |AF| = |AE| = |OF| = |OE| = r olduğundan AFOE kare oluşur.
- 5Yapı
O noktası A, B, C köşelerine birleştirilir; A(ABC) = A(BOC) + A(BOA) + A(COA)
O noktasından köşelere çizilen doğrular üçgeni üç parçaya böler.
- 6Çıkarım
A(ABC) = 12(m+n)·r + 12(m+r)·r + 12(n+r)·r = r(m+n+r)
|BC| = m+n, |AB| = m+r, |AC| = n+r; her parçada taban · yükseklik2 uygulanır.
- 7Çıkarım
Pisagor: (m+r)² + (n+r)² = (m+n)² ⇒ r(m+n+r) = m·n
Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir; açılım sadeleştirilir.
- 8Sonuç
A(ABC) = m·n
Adım 6 ve 7 birleştirilir: r(m+n+r) = m·n.
Sonuç ∎
Dik üçgende teğet parçaları alan formülü: A(ABC) = m·n elde edilir. ∎Dik Üçgende Teğet Parçaları Alan Formülü Hakkında
Dik üçgende teğet parçaları alan formülü, A köşesında dik açı olan ABC üçgeninde iç teğet çemberin hipotenüs üzerindeki teğet noktası D ile A(ABC) = m·n bağıntısını verir; m ve n hipotenüs parçalarıdır. TYT–AYT geometride çember–üçgen kesişim sorularının pratik sonuçlarından biridir.
İspat, teğet parçalarının eşitliği ile |BF| = |BD| = m, |CD| = |CE| = n bulur; AFOE karesinden |AF| = |AE| türetilir. İç teğet çember alan formülü (A = u·r) ile birlikte okunduğunda dik üçgende alanın farklı biçimlerde yazılabileceği görülür.
ÖSYM'de dik üçgen iç teğet çember ve alan sorularında bu formül hızlı sonuç verir. Adım adım kanıtı takip ederken teğet eşitliklerinin nasıl alan formülüne dönüştüğünü izlemek, çember–dörtgen sorularında sistematik düşünme alışkanlığı kazandırır.
A = m·n formülü, dik üçgende iç teğet çember ve alan sorularının en pratik sonucudur. TYT–AYT'de teğet parçaları eşitliği ile hipotenüs bölme sorularında bu bağıntı hızlı sonuç verir. İç teğet çember alan formülü A = u·r ile birlikte okunduğunda dik üçgende alanın farklı biçimlerde yazılabileceği görülür. İspatı takip ederken AFOE karesinin neden oluştuğuna dikkat etmek, teğet–dik açı yapılarını anlamanıza katkı sağlar.