Pisagor Bağıntısı
Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunun, b + c kenarlı kare düzenlemesiyle alan ispatı.
Teorem
ABC dik üçgeninde [AB] ⊥ [AC], |AB| = c, |AC| = b ve |BC| = a olmak üzere a² = b² + c²'dir.Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Kenarı b + c olan karenin alanını hem (b + c)² hem de dört dik üçgen alanı ile iç kare alanı toplamı olarak yazıp eşitleme.- 1Veri
ABC dik üçgen, [AB] ⊥ [AC], |AB| = c, |AC| = b ve |BC| = a olsun.
- 2Yapı
ABCD bir kare ve her kenarı b + c birimdir.
Kenarlara b ile c uzunluklarında parçalar işaretlenir.
- 3Çıkarım
EAF, FDG, GCH ve HBE üçgenleri eş; EFGH bir kenarı a birim olan karedir.
Köşe üçgenleri benzerlik oranı 1 olduğundan eş üçgenlerdir; ortada hipotenüsü a olan eş dik üçgenlerin birleşimi kare oluşturur.
- 4Çıkarım
A(ABCD) = (b + c)²
Karenin alan formülü — (1)
- 5Çıkarım
A(ABCD) = 4 · 12 · b · c + a²
Alan, dört dik üçgen ile iç karenin alanları toplamı — (2)
- 6Çıkarım
(b + c)² = 2bc + a²
(1) ve (2) eşitlenir; 4 · 12bc = 2bc
- 7Çıkarım
b² + 2bc + c² = 2bc + a²
Sol taraf açılarak düzenlenir.
- 8Sonuç
b² + c² = a²
Her iki taraftan 2bc çıkarılarak Pisagor bağıntısı elde edilir.
Sonuç ∎
Dik üçgende a² = b² + c² dir. ∎Pisagor Bağıntısı Hakkında
Pisagor bağıntısı, ABC dik üçgeninde [AB] ⊥ [AC], |AB| = c, |AC| = b ve |BC| = a iken a2 = b2 + c2 olduğunu ifade eder. TYT geometrinin en ünlü teoremidir; ÖSYM'de dik üçgen, koordinat geometri ve uzay geometri sorularının büyük bölümünde doğrudan veya dolaylı kullanılır.
Bu sayfadaki ispat alan yöntemine dayanır: kenarı b + c olan karenin alanı hem (b + c)^2 hem de dört dik üçgen alanı ile iç kare alanı toplamı olarak yazılır. AYT geometride Pisagor, cosinüs teoreminin dik üçgen özel durumu ve Öklid bağıntılarının temelidir.
Adım adım ispatı takip ederken alan parçalarının nasıl gruplandığına dikkat etmek, benzer alan ispatlarını (paralelkenar, eşkenar üçgen alanı) anlamanıza yardımcı olur. Pisagor teoremi ispatı adım adım arayan öğrenciler için bu sayfa kapsamlı bir rehber sunar.
"Pisagor teoremi ispatı adım adım" arayan öğrenciler için alan yöntemi, cebirsel kanıtlara göre daha sezgisel bir yol sunar. TYT'de dik üçgende hipotenüs veya dik kenar bulma sorularının tamamında a2 = b2 + c2 kullanılır. AYT koordinat geometride iki nokta arası mesafe formülü de Pisagor'un doğrudan uygulamasıdır. İspatı okurken büyük karenin alan parçalarının nasıl gruplandığına dikkat etmek, benzer alan ispatlarını (eşkenar üçgen, kare alanı) anlamanıza katkı sağlar.