Üçgende Dış Açı Teoremi
Bir üçgende bir dış açının ölçüsünün, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşit olduğunun cebirsel ispatı.
Teorem
ABC üçgeninde m(BÂC) = x, m(ABC) = y, m(BCA) = z ve C köşesindeki dış açı t olmak üzere x + y = t'dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Üçgenin iç açıları toplamı ile C köşesindeki komşu açı (z + t = 180°) eşitliklerini taraf tarafa çıkarma.- 1Veri
ABC bir üçgendir; m(BÂC) = x, m(ABC) = y, m(BCA) = z ve C köşesindeki dış açı t.
- 2Çıkarım
x + y + z = 180°
Üçgenin iç açıları toplamı teoremi
- 3Çıkarım
t + z = 180°
C köşesinde iç açı z ile dış açı t komşu olup düz açı oluşturur.
- 4Çıkarım
(x + y + z) − (t + z) = 180° − 180°
Adım 2 ve 3 taraf tarafa çıkarılır.
- 5Çıkarım
x + y − t = 0
Adım 4'te z terimleri birbirini götürür.
- 6Sonuç
x + y = t
t terimi karşı tarafa geçirilerek sonuç elde edilir.
Sonuç ∎
Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir: x + y = t. ∎Üçgende Dış Açı Teoremi Hakkında
Üçgende dış açı teoremi, bir dış açının ölçüsünün kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğunu söyler: C köşesindeki dış açı t için x + y = t. TYT geometrinin en sık kullanılan açı bağıntılarından biri olup, paralel doğru sorularında ve açıortay problemlerinde doğrudan devreye girer.
İspat, iç açılar toplamı ile komşu açı eşitliğini (t + z = 180°) taraf tarafa çıkararak elde edilir. ÖSYM'de "dış açıyı bulunuz" tipi sorularda genellikle bilinmeyen iç açıları toplamak yeterlidir; bu teorem sayesinde ek yardımcı çizgiye gerek kalmadan sonuca ulaşılabilir. Üçgenin iç açıları toplamını bilmek ön koşuldur.
AYT geometride dış açı teoremi, iç ve dış açıortay α açısı ispatının da temel adımıdır. Adım adım kanıtı okurken z terimlerinin neden sadeleştiğine dikkat etmek, benzer cebirsel çıkarma tekniğini cosinüs teoremi türetimlerinde de kullanmanızı sağlar.
Dış açı teoremi, TYT'de paralel doğru çizmeye gerek kalmadan açı bulmayı sağlayan en pratik araçlardan biridir. Örneğin bir üçgende iki iç açı biliniyorsa, dış açı doğrudan bu ikisinin toplamına eşittir. AYT geometride açıortay ve çevrel çember sorularında dış açı, bilinmeyen açıyı bilinen iç açılar cinsinden yazmanın standart yoludur. İspatı adım adım takip ederken taraf tarafa çıkarma işleminin neden z terimlerini götürdüğüne dikkat etmek önemlidir.