İki İç Açıortay Arasındaki Açı
Bir üçgende iki iç açıortayın kesişim noktasında oluşan açının, 90° ile A köşesinin yarısı toplamına eşit olduğunun ispatı.
Teorem
ABC üçgeninde [DC] ve [BE] iç açıortaylar, F noktasında kesişir. m(BF̂C) = α olmak üzere α = 90° + m(A)2'dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
ABC ve BFC üçgenlerinde iç açılar toplamını yazıp, açıortaylardan gelen eş açıları (x, y) ortak terim olarak kullanarak taraf tarafa çıkarma.- 1Veri
ABC bir üçgen, [DC] ve [BE] iç açıortaylar ve F kesişim noktasıdır; m(BF̂C) = α.
- 2Veri
B köşesinde iki eş açı x, C köşesinde iki eş açı y; m(A) A köşesinin ölçüsüdür.
İç açıortay tanımı
- 3Çıkarım
2x + 2y + m(A) = 180°
ABC üçgeninde iç açılar toplamı
- 4Çıkarım
x + y + m(A)2 = 90°
Adım 3'te her iki taraf 2'ye bölünür — (1)
- 5Çıkarım
x + y + α = 180°
BFC üçgeninde iç açılar toplamı — (2)
- 6Çıkarım
α − m(A)2 = 90°
(2) − (1) işlemiyle x ve y terimleri birbirini götürür.
- 7Sonuç
α = 90° + m(A)2
m(A)2 terimi karşı tarafa geçirilerek sonuç elde edilir.
Sonuç ∎
İki iç açıortay arasındaki açı α = 90° + m(A)2'dir. ∎İki İç Açıortay Arasındaki Açı Hakkında
İki iç açıortay arasındaki açı teoremi, ABC üçgeninde [DC] ve [BE] iç açıortaylarının F noktasında kesişmesi durumunda m(BF̂C) = α = 90° + m(A)2 olduğunu ifade eder. TYT geometride açıortay merkezi (incenter) özelliklerini anlamak için temel bir sonuçtur; AYT sorularında da açıortay kesişim açıları doğrudan sorulabilir.
İspat, ABC ve BFC üçgenlerinde iç açılar toplamını yazıp açıortaylardan gelen eş açıları ortak terimlerle sadeleştirir. ÖSYM'de "iç açıortaylar nerede kesişir, oluşan açı kaç derecedir?" tipi sorularda bu formül hızlı kontrol aracıdır. İç açılar toplamı ve açıortay tanımını bilmek gerekir.
Bu teorem, iki dış açıortay arasındaki açı (α = 90° − A2) ispatıyla birlikte okunduğunda açıortay sisteminin tam resmini verir. Adım adım ispatı takip ederken her üçgende hangi açıların eşitlendiğini not etmek, benzer cebirsel ispatları cosinüs teoremi türetimlerinde de uygulamanıza yardımcı olur.
α = 90° + A2 formülü, dar açılı üçgenlerde iç açıortay kesişim noktasının konumunu anlamak için kullanışlıdır. TYT'de A köşesi açısı verildiğinde BF̂C açısını hesaplamak tek adımlık bir işlemdir. AYT'de açıortay–çevrel çember bağıntısı gibi ileri teoremlerde de bu açı değeri ara adım olarak kullanılır. İspatın cebirsel kısmında eş açıları ortak terimlerle sadeleştirme tekniği, cosinüs teoremi ispatlarında da karşınıza çıkar.