İç Teğet Çember ve Alan Formülü
Bir üçgende alanın yarı-çevre u ile iç teğet çember yarıçapı r çarpımına eşit olduğunun A(ABC) = u·r bağıntısının teğet parçaları ve alan toplamı ile ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen, iç teğet çemberinin yarıçapı r ve merkezi O noktası olmak üzere u = Ç(ABC)2 ise A(ABC) = u·r dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
O noktası köşelere birleştirilerek üçgen üç parçaya ayrılır; teğet parçalarının eşitliği ile tabanlar a+b, a+c, b+c bulunur, alanlar toplanıp yarı-çevre u ile sadeleştirilir.- 1Veri
ABC bir üçgen; iç teğet çemberinin merkezi O, yarıçapı r; teğet noktaları D ∈ [BC], E ∈ [AC], F ∈ [AB]; yarı-çevre u = Ç(ABC)2
Veri ve tanımlar
- 2Yapı
O noktası A, B, C köşelerine birleştirilir; [OD] ⊥ [BC], [OE] ⊥ [AC], [OF] ⊥ [AB] ve |OD| = |OE| = |OF| = r
Teğet yarıçapları kenarlara dik ve eşit uzunluktadır.
- 3Veri
|AF| = a, |BF| = b, |CD| = c olsun
Teğet parçası uzunlukları tanımlanır.
- 4Çıkarım
|AF| = |AE| = a, |BF| = |BD| = b, |CD| = |CE| = c
Bir çembere dış noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşittir.
- 5Çıkarım
A(ABC) = A(AOB) + A(AOC) + A(BOC)
O noktasından köşelere çizilen doğrular üçgeni üç parçaya böler.
- 6Çıkarım
A(ABC) = 12(a+b)·r + 12(a+c)·r + 12(b+c)·r = (a+b+c)·r
Her parçada taban · yükseklik2 = 12·(taban)·r uygulanır.
- 7Çıkarım
Ç(ABC) = 2(a+b+c) ⇒ u = Ç(ABC)2 = a+b+c
|AB| = a+b, |BC| = b+c, |CA| = a+c olduğundan çevre 2(a+b+c) olur.
- 8Sonuç
A(ABC) = u·r
Adım 6 ve 7 birleştirilir: (a+b+c)·r = u·r.
Sonuç ∎
İç teğet çember alan formülü: A(ABC) = u·r elde edilir. ∎İç Teğet Çember ve Alan Formülü Hakkında
İç teğet çember ve alan formülü, ABC üçgeninde iç teğet çember yarıçapı r ve u = Ç(ABC)2 iken A(ABC) = u·r bağıntısını verir. TYT–AYT geometride çember–üçgen alan sorularının temel sonuçlarından biridir.
İspat, O merkezinden köşelere birleştirilerek üçgen üç parçaya ayrılır; teğet parçalarının eşitliği ile tabanlar u olarak gruplanır. Üçgen alan formülünü bilmek ön koşuldur. Dik üçgende A = m·n formülü bu genel sonucun özel durumudur.
ÖSYM'de iç teğet çember yarıçapı ve alan sorularında bu bağıntı doğrudan uygulanır. Adım adım ispatı takip ederken teğet eşitliklerinin alan toplamına nasıl yansıdığına dikkat etmek, çevrel çember alan formülüyle birlikte okunduğunda çember–alan bağlantısını pekiştirir.
A = u·r formülü, TYT–AYT'de iç teğet çember yarıçapı ve alan sorularının temel bağıntısıdır. ÖSYM'de çevre u ve yarıçap r verildiğinde alan doğrudan yazılır. Dik üçgende A = m·n formülü bu genel sonucun özel durumudur. Teğet parçalarının eşitliği ispatın kritik adımıdır. İç teğet çember yarıçapı r ve yarı-çevre u verildiğinde alan hesabı tek satırlık bir işlemdir; teğet parçalarının eşitliği ispatın temel gerekçesidir.