Üçgen Alan Formülü (Sinüs)
Bir üçgenin alanının iki kenar ve aralarındaki açının sinüsü cinsinden A(ABC) = 12·a·b·sinα ile ifade edilmesinin yükseklik yardımıyla ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen, |AC| = b, |BC| = a ve m(BĈA) = α ise A(ABC) = 12·a·b·sinα dir.Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
A köşesinden BC'ye h yüksekliği indirilir; AHC dik üçgeninde sinα = hb bağıntısından h = b·sinα elde edilir ve üçgen alan formülüne yerine yazılır.- 1Veri
ABC bir üçgen, |AC| = b, |BC| = a ve m(BĈA) = α olsun.
- 2Yapı
A köşesinden [BC] kenarına H ayaklı bir dikme indirilir; |AH| = h.
Yardımcı yükseklik inşası.
- 3Çıkarım
sinα = hb
AHC dik üçgeninde sinα = karşı kenarhipotenüs.
- 4Çıkarım
h = b·sinα
Adım 3'ten h yalnız bırakılır — (1).
- 5Çıkarım
A(ABC) = 12·h·a
Üçgen alanı = 12·taban·yükseklik — (2).
- 6Sonuç
A(ABC) = 12·a·b·sinα
(1)'deki h = b·sinα ifadesi (2)'ye yerine yazılır.
Sonuç ∎
Üçgen alan formülü: A(ABC) = 12·a·b·sinα dir. ∎Üçgen Alan Formülü (Sinüs) Hakkında
Üçgen alan formülü (sinüs), ABC üçgeninde |AC| = b, |BC| = a ve m(BĈA) = α iken A(ABC) = 12 \cdot a \cdot b \cdot \sin \alpha bağıntısını verir. TYT–AYT geometrinin temel alan aracıdır; ÖSYM'de üçgen alanı, sinüs değeri ve kenar verildiğinde alan hesaplama sorularında doğrudan kullanılır.
İspat, A köşesinden BC'ye indirilen yükseklik h ile A = 12 \cdot a \cdot h yazılır; h = b·sin α trigonometrik oranıyla değiştirilir. Dik üçgende trigonometrik oran tanımını bilmek yeterlidir. Heron formülü, sinüs teoremi ve paralelkenar sinüs alan formülü bu temel sonuca dayanır.
Adım adım ispatı takip ederken h = b·sin α adımının hangi dik üçgenden geldiğine dikkat etmek, benzer alan ispatlarını anlamanıza katkı sağlar.
A = 12 ab \sin \alpha formülü, TYT–AYT'de üçgen alanı hesaplamanın trigonometrik yoludur. ÖSYM'de iki kenar ve aralarındaki açı verildiğinde alan doğrudan bu formülle bulunur. Heron formülü, sinüs teoremi ve paralelkenar sinüs alan formülü bu temel sonuca dayanır. Sinüs alan formülü, kosinüs teoremi ile birlikte üçgen trigonometrisinin temel ikilisidir; AYT sorularında alan, kenar ve açı arasında dönüşüm yapmak için vazgeçilmezdir.