Ortak İç Teğet Merkez Bağıntısı
d₁ doğrusu O₁ ve O₂ merkezli çemberlere sırasıyla A ve B noktalarında teğet; |O₁A| = R, |O₂B| = r iken |O₁O₂|² = |AB|² + |R + r|² bağıntısının dikdörtgen ve Pisagor ile ispatı.
Teorem
d₁ doğrusu O₁ merkezli çembere A noktasında ve O₂ merkezli çembere B noktasında teğettir; |O₁A| = R ve |O₂B| = r ise |O₁O₂|² = |AB|² + |R + r|² dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Teğet–merkez dikliği ile [O₁K] ∥ [AB] inşası yapılır; B, K birleştirilir; O₁KBA dikdörtgeninden |O₁K| = |AB| yazılır; O₁O₂K dik üçgeninde Pisagor uygulanır.- 1Veri
d₁ doğrusu O₁ merkezli çembere A noktasında, O₂ merkezli çembere B noktasında teğettir; |O₁A| = R, |O₂B| = r olsun
Veri; ortak iç teğet düzeni tanımlanır.
- 2Çıkarım
|O₁A| ⊥ d₁ ve |O₂B| ⊥ d₁
Bir çemberin merkezinden teğetin değme noktasına indirilen doğru parçası teğete diktir.
- 3Yapı
[AB] ye paralel ve [AB] nin boyu kadar bir [O₁K] doğru parçası çizelim; B noktasını K noktasına birleştirelim
İspat inşası; O₁KBA dikdörtgeni oluşturulur.
- 4Çıkarım
O₁KBA bir dikdörtgendir; |O₁A| = |KB| ve |O₁K| = |AB|
Paralel kenarlı ve birer dik açısı olan dörtgen dikdörtgendir; karşılıklı kenarlar eşittir.
- 5Çıkarım
|KO₂| = |R + r|
K, [O₂B] doğrusu üzerinde B nin ötesindedir; |KO₂| = |KB| + |O₂B| = R + r bulunur.
- 6Çıkarım
O₁O₂K dik üçgeninde |O₁O₂|² = |O₁K|² + |KO₂|²
Pisagor teoremi; [O₁K] ⊥ [KO₂] olduğundan O₁O₂K dik üçgendir.
- 7Sonuç
|O₁O₂|² = |AB|² + |R + r|²
Adım 4 ve 5 ile |O₁K| = |AB|, |KO₂| = |R + r| yerine yazılır.
Sonuç ∎
Ortak iç teğet merkez bağıntısı: |O₁O₂|² = |AB|² + |R + r|² elde edilir. ∎Ortak İç Teğet Merkez Bağıntısı Hakkında
Ortak iç teğet merkez bağıntısı, yarıçapları R ve r olan iki çemberin ortak iç teğetine ait |O₁O₂|^2 = |AB|2 + (R + r)^2 formülünü verir. TYT–AYT geometride iç teğet sorularının temelidir.
İspat, teğet–merkez dikliği ile [O₁K] ∥ [AB] inşası yapılır; B, K birleştirilir; O₁KBA dikdörtgeni ve O₁O₂K dik üçgeninde Pisagor uygulanır. Ortak dış teğet ispatıyla aynı tekniği kullanır; (R + r) toplamı kritik farktır.
ÖSYM'de iç teğet ve merkez mesafesi sorularında doğrudan devreye girer. Adım adım kanıtı takip ederken dış ve iç teğet formüllerini yan yana koymak, hangi durumda toplam hangi durumda fark kullanıldığını netleştirir.
|O₁O₂|^2 = |AB|2 + (R + r)^2 formülü, TYT–AYT'de iki çember ortak iç teğet sorularının standart aracıdır. Dış teğet formülünden farkı (R + r) toplamının kullanılmasıdır. ÖSYM'de iç teğet sorularında doğrudan devreye girer. İç teğet sorularında merkezler arası mesafe (R+r) toplamının karesi kullanılır; dış teğet formülüyle karıştırmamak için soruda teğetin konumunu şekilden okuyun. İç teğet sorularında (R+r) toplamının karesi kullanılır; dış teğet formülündeki (R−r) farkı ile karıştırmamak için soruda teğetin konumunu şekilden okuyun.