Teğet–Merkez Diklik Teoremi
A teğet noktası olmak üzere O merkezli çemberde [OA] doğrusunun teğete dik olduğunun eş üçgenler ve dış teğetler açı teoremi ile ispatı.
Teorem
A noktası, teğetin O merkezli çembere değme noktası olmak üzere, bir çemberin merkezinden teğetin değme noktasına çizilen doğru teğeti dik keser.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
△OPA ≅ △OPB ile açı eşitlikleri yazılır; dış teğetler açı teoreminden θ + α = 90° bulunur; △OAP açı toplamı ile β = 90° elde edilir.- 1Çıkarım
|PA| = |PB|
Bir dış noktadan çembere çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşittir.
- 2Çıkarım
|OA| = |OB| = r
O merkezli çemberin yarıçapları eşittir.
- 3Çıkarım
△OPA ≅ △OPB
Üç kenar eşitliğinden (|PA| = |PB|, |OA| = |OB|, |PO| ortak) eş üçgenler elde edilir.
- 4Çıkarım
m(OPA) = m(OPB) = α, m(POA) = m(POB) = θ, m(OAP) = m(OBP) = β
Eş üçgenlerin karşılıklı açıları eşittir.
- 5Çıkarım
2θ + 2α = 180° ⇒ θ + α = 90° (1)
Dış teğetler açı teoremi: m(APB) + AB yayının ölçüsü = 180°. [PO] açıortay olduğundan m(APB) = 2α ve m(AOB) = 2θ; dolayısıyla 2α + 2θ = 180°.
- 6Çıkarım
△OAP ⇒ θ + α + β = 180° (2)
Bir üçgenin iç açıları toplamı 180° dir.
- 7Sonuç
(2) − (1) ⇒ β = 90°
(θ + α + β) − (θ + α) = 180° − 90° olduğundan β = 90° bulunur.
Sonuç ∎
Merkezden teğet noktasına çizilen [OA] doğrusu teğete diktir: m(OAP) = 90°. ∎Teğet–Merkez Diklik Teoremi Hakkında
Teğet–merkez diklik teoremi, teğetin değme noktası A iken [OA] ⊥ teğet olduğunu belirtir. TYT–AYT geometrinin temel çember aksiyomlarından biridir; ÖSYM'de teğet uzunluğu, ortak teğet ve diklik sorularında doğrudan kullanılır.
İspat, △OPA ≅ △OPB ile açı eşitlikleri yazılır; dış teğetler açı teoreminden θ + α = 90° bulunur; △OAP açı toplamından diklik elde edilir. Dış teğetler açı teoremi ön koşuldur.
Adım adım ispatı takip ederken teğet eşitliği (|PA| = |PB|) adımına dikkat etmek, ortak teğet merkez bağıntıları ispatının temelini oluşturur.
Teğet–merkez dikliği, TYT–AYT çember sorularının temel aksiyomlarından biridir. ÖSYM'de teğet uzunluğu, ortak teğet ve diklik sorularında [OA] ⊥ teğet doğrudan kullanılır. Ortak teğet merkez bağıntıları ispatının temel adımıdır. Teğet uzunluğu |PT| hesaplanırken △OTP dik üçgeni kurulur; yarıçap ve teğet dik olduğundan Pisagor doğrudan uygulanır. Ortak teğet ispatlarının temel adımıdır. Teğet uzunluğu hesabında △OTP dik üçgeni kurulduğunda |PT|2=|OP|2−r2 Pisagor uygulaması doğrudan yapılabilir; bu teorem TYT çember sorularının temel aksiyomlarındandır. MEB müfredatında teğet tanımının doğrudan sonucu olan bu teorem, TYT çember sorularının temel aksiyomları arasında sayılır ve ispat yazma becerisini ölçer.