Dış Teğetler Açı Teoremi
O merkezli çemberin teğet noktaları A, B ve dış nokta P için m(APB) = x, AB yayının ölçüsü α iken x + α = 180° bağıntısının dış kesen açı teoremi ile ispatı.
Teorem
A, B noktaları O merkezli çemberin teğet noktaları olmak üzere, m(APB) = x, AB yayının ölçüsü α ise x + α = 180° dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
C çember üzerinde alınır; dış kesen açı teoremiyle x = θ − α2 yazılır; α + θ = 360° birleştirilerek x + α = 180° elde edilir.- 1Yapı
C noktası çember üzerinde olmak üzere, ACB yayının ölçüsü θ olsun
İspat için majör yay θ tanımlanır; minör yay AB zaten α ile gösterilmiştir.
- 2Çıkarım
x = θ - α2 (1)
Dış kesen açı teoremi: teğet–teğet açısında x, majör ve minör yay farkının yarısıdır.
- 3Çıkarım
α + θ = 360° (2)
Minör yay AB ile majör yay ACB birlikte çemberi tamamlar.
- 4Çıkarım
(2) denklemindeki θ değeri (1) denkleminde yerine yazılırsa
θ = 360° − α olduğundan (1) denkleminde sadeleştirme yapılır.
- 5Sonuç
x = 360° - α - α2 = 180° - α ⇒ x + α = 180°
Paydada 2'ye bölününce x = 180° − α elde edilir; α her iki tarafa eklenir.
Sonuç ∎
Dış teğetler açı teoremi: x + α = 180° elde edilir. ∎Dış Teğetler Açı Teoremi Hakkında
Dış teğetler açı teoremi, A ve B teğet noktaları, AB yayı α iken m(APB) = x olmak üzere x + α = 180° bağıntısını verir. TYT–AYT geometride teğet–çember açı sorularının temelidir.
İspat, C çember üzerinde alınır; dış kesen açı teoremiyle x = \theta - \alpha2 yazılır; α + θ = 360° birleştirilerek x + α = 180° elde edilir. Dış kesen açı teoremi ön koşuldur. Teğet–merkez diklik ve teğet–kiriş açı teoremleri bu sonucu kullanır.
ÖSYM'de dış teğet noktasından çizilen teğetler arası açı sorularında doğrudan devreye girer. Adım adım kanıtı takip ederken tam yay (360° − α) adımına dikkat etmek, çember açı hesaplarında sistematik düşünme alışkanlığı kazandırır.
x + α = 180° bağıntısı, TYT–AYT'de dış teğet noktasından çizilen teğetler arası açı sorularının temelidir. Teğet–merkez diklik ispatının ön adımı olarak da kullanılır. ÖSYM'de teğet noktaları ve yay ölçüsü verildiğinde açı doğrudan hesaplanır. Dış teğet noktasından iki teğet eşit uzunluktadır; bu eşitlik teğet–kiriş kuvvet teoremi ispatında da kritik adımdır. x + α = 180° bağıntısı TYT çember sorularında sık kullanılır.