Dış Kesen Açı Teoremi
O merkezli çemberde dış nokta P; m(DPC) = x, AB yayının ölçüsü α, DC yayının ölçüsü β iken x = β - α2 bağıntısının çevre açı ve üçgen açıları toplamı ile ispatı.
Teorem
A, B, C, D noktaları O merkezli çember üzerinde olmak üzere, m(DPC) = x, AB yayının ölçüsü α, DC yayının ölçüsü β ise x = β - α2 dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[DC] birleştirilir; çevre açı teoremiyle m(PDC) = α+γ2 ve m(PCD) = α+θ2 yazılır; △DPC açıları toplamı ile çemberin tam açı toplamı birleştirilir.- 1Yapı
D noktasını C noktasına birleştiren [DC] doğru parçasını çizelim; AD yayının ölçüsü θ, BC yayının ölçüsü γ olsun
İspat inşası; yardımcı üçgen DPC oluşturulur.
- 2Çıkarım
m(PCD) = α + θ2 ve m(PDC) = α + γ2
m(PCD), DAB yayının ölçüsü (θ + α); m(PDC), ABC yayının ölçüsü (α + γ) olduğundan çevre açı teoremi uygulanır.
- 3Çıkarım
△DPC ⇒ α + γ2 + α + θ2 + x = 180° (1)
Bir üçgenin iç açıları toplamı 180° dir.
- 4Çıkarım
α + β + θ + γ = 360° ⇒ α + γ2 + β + θ2 = 180° (2)
θ, α, γ, β yayları çemberi tamamlar; toplamları 360° dir ve her iki taraf 2'ye bölünür.
- 5Sonuç
(1) ve (2) ⇒ x = β + θ2 - α + θ2 = β - α2
(1) denklemindeki α+γ2 ile (2) denklemindeki α+γ2 eşitlenince x = β−α2 bulunur.
Sonuç ∎
Dış kesen açı teoremi: x = β − α2 elde edilir. ∎Dış Kesen Açı Teoremi Hakkında
Dış kesen açı teoremi, çember dışındaki P noktasından çizilen kesenlerle m(DPC) = x, AB yayı α, DC yayı β iken x = \beta - \alpha2 olduğunu belirtir. TYT–AYT geometride çember dış açı sorularının temel formülüdür.
İspat, [DC] birleştirilir; çevre açı teoremiyle m(PDC) ve m(PCD) yazılır; △DPC açıları toplamından x türetilir. Çevre açı teoremi ön koşuldur. ÖSYM'de dış noktadan çizilen kesenlerle oluşan açı sorularında doğrudan uygulanır.
Dış teğetler açı teoremi bu sonucun teğet özel durumudur. Adım adım ispatı takip ederken β − α farkının neden yarıya indiğine dikkat etmek, iç–dış açı teoremleri arasındaki simetriyi kavramanıza katkı sağlar.
x = \beta - \alpha2 formülü, TYT–AYT'de çember dışı kesen açı sorularının standart aracıdır. İç kesişen kiriş formülü (toplama) ile dış kesen formülü (çıkarma) arasındaki farkı bilmek sınav başarısı için kritiktir. Dış kesen sorularında büyük yaydan küçük yay çıkarılır; iç kesişen formülüyle (toplama) karıştırmamak için soruda noktanın çember dışında olduğunu doğrulayın. Dış kesen açı formülünde β>α varsayımı önemlidir; soruda hangi yayın büyük olduğunu belirlemek işaret hatasını önler. İç kesişen \alpha + \beta2 formülüyle karıştırmayın.