Ortak Dış Teğet Merkez Bağıntısı
d₁ doğrusu O₁ ve O₂ merkezli çemberlere sırasıyla A ve B noktalarında teğet; |O₁A| = r, |O₂B| = R iken |O₁O₂|² = |AB|² + |R − r|² bağıntısının dikdörtgen ve Pisagor ile ispatı.
Teorem
d₁ doğrusu O₁ merkezli çembere A noktasında ve O₂ merkezli çembere B noktasında teğettir; |O₁A| = r ve |O₂B| = R ise |O₁O₂|² = |AB|² + |R − r|² dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Teğet–merkez dikliği ile [O₁K] ∥ [AB] inşası yapılır; O₁KBA dikdörtgeninden |O₁K| = |AB| yazılır; O₁O₂K dik üçgeninde Pisagor uygulanır.- 1Veri
d₁ doğrusu O₁ merkezli çembere A noktasında, O₂ merkezli çembere B noktasında teğettir; |O₁A| = r, |O₂B| = R olsun
Veri; ortak dış teğet düzeni tanımlanır.
- 2Çıkarım
|O₁A| ⊥ d₁ ve |O₂B| ⊥ d₁
Bir çemberin merkezinden teğetin değme noktasına indirilen doğru parçası teğete diktir.
- 3Yapı
[AB] ye paralel olacak şekilde bir [O₁K] doğru parçası çizelim; K ∈ [O₂B]
İspat inşası; O₁KBA dikdörtgeni oluşturulur.
- 4Çıkarım
O₁KBA bir dikdörtgendir; |O₁A| = |KB| ve |O₁K| = |AB|
Paralel kenarlı ve birer dik açısı olan dörtgen dikdörtgendir; karşılıklı kenarlar eşittir.
- 5Çıkarım
|KO₂| = |R − r|
K ∈ [O₂B] olduğundan |O₂B| = |KB| + |KO₂| = r + |KO₂|; |O₂B| = R ile |KO₂| = R − r bulunur.
- 6Çıkarım
O₁O₂K dik üçgeninde |O₁O₂|² = |O₁K|² + |KO₂|²
Pisagor teoremi; [O₁K] ⊥ [O₂B] olduğundan O₁O₂K dik üçgendir.
- 7Sonuç
|O₁O₂|² = |AB|² + |R − r|²
Adım 4 ve 5 ile |O₁K| = |AB|, |KO₂| = |R − r| yerine yazılır.
Sonuç ∎
Ortak dış teğet merkez bağıntısı: |O₁O₂|² = |AB|² + |R − r|² elde edilir. ∎Ortak Dış Teğet Merkez Bağıntısı Hakkında
Ortak dış teğet merkez bağıntısı, yarıçapları r ve R olan iki çemberin ortak dış teğetine ait |O₁O₂|^2 = |AB|2 + (R − r)^2 formülünü verir. TYT–AYT geometride iki çember ortak teğet sorularının temelidir.
İspat, teğet–merkez dikliği ile [O₁K] ∥ [AB] inşası yapılır; O₁KBA dikdörtgeninden |O₁K| = |AB| yazılır; O₁O₂K dik üçgeninde Pisagor uygulanır. Teğet–merkez diklik ön koşuldur.
ÖSYM'de iki çember merkezleri arası mesafe sorularında bu bağıntı doğrudan kullanılır. Adım adım ispatı takip ederken (R − r) farkının nereden geldiğine dikkat etmek, ortak iç teğet bağıntısıyla karşılaştırma yapmanıza katkı sağlar.
|O₁O₂|^2 = |AB|2 + (R − r)^2 formülü, TYT–AYT'de iki çember ortak dış teğet sorularının standart aracıdır. Teğet–merkez diklik ve Pisagor birleşimidir. ÖSYM'de yarıçaplar ve teğet noktaları arası mesafe sorularında doğrudan uygulanır. İki çember dış teğet sorularında O₁O₂K dik üçgeni kurulur; (R−r) farkının karesi Pisagor'un dik kenarlarından biridir. Teğet–merkez dikliği ispatın ön koşuludur. O₁O₂ mesafesi sorularında teğet noktaları arası |AB| ve yarıçap farkı (R−r) verildiğinde Pisagor doğrudan uygulanır; teğet–merkez dikliği ispatın ön koşuludur.