Paralelkenarda Komşu Kenar Orta Noktalarının Alan Bölmesi
Paralelkenar ABCD'de E ve F sırasıyla [DC] ile [AD] orta noktaları iken A(ABF), A(BCE), A(EDF) ve A(BEF) alanlarının A(ABCD) = S cinsinden sinüs alan formülü ile ispatı.
Teorem
ABCD bir paralelkenar; E ∈ [DC] ve F ∈ [AD] orta noktalar, A(ABCD) = S ise A(ABF) = S4, A(BCE) = S4, A(EDF) = S8, A(BEF) = 3S8 dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
A(ABCD) = a·b·sinα = S ile sinα ifadesi yazılır; △ABF, △BCE ve △EDF sinüs alan formülüyle hesaplanıp S cinsinden sadeleştirilir; △BEF alanı toplam alandan çıkarılır.- 1Veri
|AB| = |DC| = a, |AD| = |BC| = b, m(BAD) = α ve A(ABCD) = S olsun
Veri; E ve F sırasıyla [DC] ile [AD] orta noktaları.
- 2Çıkarım
A(ABCD) = a · b · sinα = S ⇒ sinα = Sa · b (1)
Paralelkenar sinüs alan formülü (bkz. paralelkenar-alan-sinus-formulu).
- 3Çıkarım
A(ABF) = 12 · a · b2 · sinα = a · b4 · sinα (2)
△ABF üçgeninde |AB| = a, |AF| = b2, A köşesindeki açı α.
- 4Çıkarım
(1) ve (2) ⇒ A(ABF) = S4
(2) denkleminde sinα = Sa · b yerine yazılır.
- 5Çıkarım
A(BCE) = 12 · b · a2 · sinα = a · b4 · sinα (3)
△BCE üçgeninde |BC| = b, |CE| = a2, C köşesindeki açı α.
- 6Çıkarım
(1) ve (3) ⇒ A(BCE) = S4
(3) denkleminde sinα = Sa · b yerine yazılır.
- 7Çıkarım
A(EDF) = 12 · a2 · b2 · sin180° - α = a · b8 · sinα (4)
△EDF üçgeninde |DE| = a2, |DF| = b2, m(EDF) = 180° - α; sin180° - α = sinα.
- 8Çıkarım
(1) ve (4) ⇒ A(EDF) = S8
(4) denkleminde sinα = Sa · b yerine yazılır.
- 9Sonuç
A(BEF) = S - S4 - S4 - S8 = 3S8
Paralelkenar alanından diğer üç üçgenin alanları çıkarılır.
Sonuç ∎
Orta nokta bağlantılarıyla A(ABF) = S4, A(BCE) = S4, A(EDF) = S8, A(BEF) = 3S8 elde edilir. ∎Paralelkenarda Komşu Kenar Orta Noktalarının Alan Bölmesi Hakkında
Paralelkenarda komşu kenar orta noktalarının alan bölmesi teoremi, E ve F orta noktalar iken A(ABF) = S4, A(BCE) = S4 ve A(BEF) = 3S8 olduğunu belirtir. TYT–AYT geometride paralelkenar alan bölme sorularının ileri sonuçlarından biridir; ÖSYM'de orta nokta ve alan oranı sorularında bu kesir değerleri doğrudan uygulanır.
İspat, A(ABCD) = a·b·sin α = S ile sin α ifadesi yazılır; △ABF, △BCE ve △EDF sinüs alan formülüyle hesaplanır. Sinüs alan formülü ön koşuldur. Orta nokta varsayımı, taban uzunluklarının yarıya inmesiyle alan formülüne yansır.
Adım adım ispatı takip ederken orta nokta varsayımının alan formülüne nasıl yansıdığına dikkat etmek, yamuk köşegen alan bağıntısı ispatındaki benzer oran tekniklerini tanımanıza katkı sağlar. AYT geometride alan oranı sorularında S4 ve 3S8 değerlerini doğrudan yazmak süreyi kısaltır.
A(ABF) = S4 ve A(BEF) = 3S8 sonuçları, TYT–AYT'de paralelkenar orta nokta alan sorularının ileri aracıdır. Sinüs alan formülü ispatın temelidir. ÖSYM'de orta noktalar ve alan oranı sorularında kullanılır. Orta nokta alan bölme sonuçları (S4, 3S8) ÖSYM sorularında doğrudan uygulanabilir; sinüs alan formülüyle türetim cebirsel manipülasyon pratiği kazandırır. BEF alanının 3S8 olması, orta nokta varsayımının sinüs alan formülüne yansımasıdır; ispatın cebirsel adımlarını takip etmek formülü türetmenin en iyi yoludur.