Paralelkenarda Sinüs ile Alan Formülü
Paralelkenar ABCD'de komşu kenarlar a, b ve aralarındaki açı α iken A(ABCD) = a·b·sinα olduğunun köşegen bölme ve üçgen alan formülü ile ispatı.
Teorem
ABCD bir paralelkenar; |AB| = |DC| = a, |AD| = |BC| = b, m(BAD) = α ise A(ABCD) = a·b·sinα dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[BD] köşegeni ile paralelkenar iki eş alanlı üçgene bölünür; A(ABD) = 12·a·b·sinα yazılıp toplam alan iki katına çıkarılarak a·b·sinα elde edilir.- 1Yapı
[BD] köşegenini çizelim.
Paralelkenarı ABD ve BCD üçgenlerine bölmek için yardımcı yapı.
- 2Çıkarım
A(ABCD) = A(ABD) + A(BCD)
Paralelkenar alanı, köşegenle oluşan iki üçgenin alanları toplamıdır.
- 3Çıkarım
A(ABD) = A(BCD)
Paralelkenarda köşegenle oluşan üçgenlerin alanları eşittir.
- 4Çıkarım
A(ABCD) = 2·A(ABD) (1)
Adım 2 ve Adım 3 birleştirilir.
- 5Çıkarım
A(ABD) = 12·a·b·sinα (2)
ABD üçgeninde |AB| = a, |AD| = b ve A köşesindeki açı α; sinüs alan formülü.
- 6Sonuç
A(ABCD) = 2·12·a·b·sinα = a·b·sinα
(1) ve (2) denklemleri birleştirilir.
Sonuç ∎
Paralelkenar sinüs alan formülü: A(ABCD) = a·b·sinα elde edilir. ∎Paralelkenarda Sinüs ile Alan Formülü Hakkında
Paralelkenarda sinüs ile alan formülü, m(BAD) = α iken A(ABCD) = a·b·sin α bağıntısını verir. TYT–AYT geometride açı verildiğinde paralelkenar alanı hesaplamanın standart yoludur; ÖSYM'de kenarlar a, b ve açı α verildiğinde alan doğrudan bu formülle yazılır. Taban–yükseklik formülüne göre açı bilgisi mevcut olduğunda sinüs formülü tercih edilir.
İspat, [BD] köşegeni ile paralelkenar iki eş alanlı üçgene bölünür; A(ABD) = 12 \cdot a \cdot b \cdot \sin \alpha yazılıp iki kat alınır. Sinüs alan formülü ve köşegen alan bölme teoremi ön koşuldur. Köşegen bölme adımı, paralelkenar köşegen sinüs alan formülüne geçişi kolaylaştırır.
Adım adım ispatı takip ederken bölme ve sinüs formülünün birleşimine dikkat etmek, dörtgen alan formülleri arasında doğru seçim yapmanızı sağlar. AYT geometride vektör çarpımının büyüklüğü |a||b|sin α ile aynı mantığı taşır. Paralelkenar teoremi (e2 + f2 = 2(a2 + b2)) ile birlikte okunduğunda paralelkenar araç setinin bütünlüğü görülür.
A = ab sin α formülü, TYT–AYT'de açı verildiğinde paralelkenar alanının trigonometrik yoludur. Üçgen sinüs alan formülünün iki katı olarak türetilir. ÖSYM'de kenarlar ve açı verildiğinde alan doğrudan hesaplanır. Sinüs alan formülü hem üçgen hem paralelkenar hem yamuk alanlarında ortak araçtır; α açısının paralelkenarın iç açısı olduğunu unutmamak formülü doğru uygulamanın anahtarıdır. α dar açı olduğunda sin α pozitiftir; geniş açı durumunda sin180°−α kullanılır. Formül her iki durumda da doğru alanı verir.