Karede Köşegenler Açıları Açıortaylar
ABCD birim kenarı a olan bir kare. Köşegenlerin köşe açılarını eşit iki 45°'lik parçaya böldüğünün ikizkenar üçgen ve paralel doğru özellikleriyle ispatı.
Teorem
ABCD bir kare ve kenar uzunluğu a'dır. Bu durumda her köşegenin köşe açısını iki eşit parçaya böldüğü, yani her parçanın 45° olduğu ispat edilecektir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[AC] köşegeni için α, [BD] köşegeni için β kullanılır; ikizkenar üçgen ve paralel doğru (iç ters açı) özellikleriyle α = β = 45° bulunur.- 1Veri
m(BÂC) = α diyelim.
Veri; [AC] köşegeni A köşesindeki açıyı böler.
- 2Çıkarım
|AB| = |BC| = a olduğundan △ABC ikizkenar → m(BĈA) = α
Karenin eş kenarları; ikizkenar üçgende taban açıları eşittir.
- 3Çıkarım
[AD] // [BC] olduğundan m(DÂC) = m(BĈA) = α (iç ters açılar)
A–C transversali, [AD] // [BC] doğrularını kestiğinden.
- 4Çıkarım
△ADC ikizkenar (|AD| = |DC| = a) → m(DĈA) = α
Karenin eş kenarları; ikizkenar üçgende taban açıları eşittir.
- 5Çıkarım
m(BÂD) = 90° olduğundan 2α = 90° ⇒ α = 45°
Kare iç açısı 90°; m(BÂC) + m(DÂC) = 2α = 90°.
- 6Veri
m(DB̂A) = β diyelim.
Veri; [BD] köşegeni B köşesindeki açıyı böler.
- 7Çıkarım
△BAD ikizkenar (|BA| = |AD| = a) → m(BD̂A) = β
Karenin eş kenarları; ikizkenar üçgende taban açıları eşittir.
- 8Çıkarım
[AB] // [DC] olduğundan m(CD̂B) = m(DB̂A) = β (iç ters açılar)
B–D transversali, [AB] // [DC] doğrularını kestiğinden.
- 9Çıkarım
△BDC ikizkenar (|BC| = |DC| = a) → m(CB̂D) = β
Karenin eş kenarları; ikizkenar △BDC'de taban açıları eşittir.
- 10Sonuç
m(AB̂C) = 90° olduğundan 2β = 90° ⇒ β = 45°
Kare iç açısı 90°; m(DB̂A) + m(CB̂D) = 2β = 90°.
Sonuç ∎
Her köşegende köşe açısı iki eşit 45°'lik parçaya bölünür: α = β = 45°. ∎Karede Köşegenler Açıları Açıortaylar Hakkında
Karede köşegenler açı açıortaylar teoremi, ABCD karesinde [AC] ve [BD] köşegenlerinin her köşedeki 90°'lik açıyı iki eşit 45° parçaya böldüğünü belirtir. TYT geometrinin en temel kare özelliklerinden biri olan bu sonuç, kare simetrisinin açı cinsinden ifadesidir; ÖSYM'de kare köşegen, 45°–45°–90° özel üçgen ve koordinat geometri sorularında arka planda sürekli devreye girer.
Sayfadaki ispat, [AC] köşegeni için α, [BD] köşegeni için β alarak ikizkenar üçgen ve paralel doğru (iç ters açı) özelliklerini birleştirir. Karenin karşılıklı kenarlarının paralelliği sayesinde α = β = 45° elde edilir. Paralel doğrularda iç ters açı özelliğini bilmek yeterli bir ön koşuldur; ikizkenar üçgen taban açıları ispatı da faydalıdır.
Kare köşegenleri dik kesişir ve eşit böler ispatlarının temel adımıdır. AYT geometride kare–dikdörtgen dönüşümleri, eşkenar dörtgen ve koordinat düzleminde kare inşası sorularında 45° açı bilgisi kritik rol oynar. Adım adım kanıtı takip ederken her köşegende hangi ikizkenar üçgenin kurulduğuna dikkat etmek, benzer simetri ispatlarını kendi başınıza yazabilmenize katkı sağlar.
Köşegenlerin 45° açı oluşturması, TYT'de kare sorularının temelidir. ÖSYM'de kare köşegen açısı sorulduğunda doğrudan 45° yazılır. İkizkenar üçgen taban açıları ispatının kare özel durumudur. Dik kesişim ve eşit bölme ispatlarının ön adımıdır.