Paralelkenarda Kesen Doğru Bağıntısı
Paralelkenar ABCD'de [AC] köşegeni ile B'den başlayıp [AD] ve [CD] uzantısını kesen doğru üzerinde |BK| = x, |KF| = y, |FE| = z iken x² = y·(y+z) bağıntısının benzerlik ile ispatı.
Teorem
ABCD bir paralelkenar; [AC] köşegeni ile B'den geçen doğru sırasıyla [AC]'yi K'de, [AD]'yi F'de ve [CD] uzantısını E noktasında kessin. |BK| = x, |KF| = y, |FE| = z ise x² = y·(y+z) dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Paralelliklerden ABK ~ CEK ve AFK ~ CBK benzerlikleri kurulur; elde edilen mn oranları eşitlenerek x² = y·(y+z) bulunur.- 1Veri
ABCD bir paralelkenar; B'den geçen doğru [AC]'yi K'de, [AD]'yi F'de, [CD] uzantısını E noktasında kessin; |BK| = x, |KF| = y, |FE| = z
Veri ve tanımlar
- 2Veri
|AK| = m, |KC| = n olsun
Köşegen parçaları tanımlanır.
- 3Çıkarım
△ABK ~ △CEK
[AB] // [CE] olduğundan karşılıklı açılar eşit; K açısı ortak — A.A. benzerlik.
- 4Çıkarım
xy+z = mn
ABK ~ CEK benzerliğinden |BK||KE| = |AK||KC|— (1).
- 5Çıkarım
△AFK ~ △CBK
[AD] // [BC] olduğundan karşılıklı açılar eşit; K açısı ortak — A.A. benzerlik.
- 6Çıkarım
yx = mn
AFK ~ CBK benzerliğinden |KF||BK| = |AK||KC|— (2).
- 7Çıkarım
xy+z = yx
(1) ve (2) denklemlerinden mn oranları eşitlenir.
- 8Sonuç
x² = y·(y+z)
Adım 7 çapraz çarpım yapılarak sadeleştirilir.
Sonuç ∎
Paralelkenarda kesen doğru bağıntısı: x² = y·(y+z) elde edilir. ∎Paralelkenarda Kesen Doğru Bağıntısı Hakkında
Paralelkenarda kesen doğru bağıntısı, ABCD paralelkenarında [AC] köşegeni ile B'den geçen kesen doğrusu üzerinde |BK| = x, |KF| = y, |FE| = z iken x2 = y·(y + z) formülünü verir. TYT–AYT geometride paralelkenar oran–benzerlik sorularının ileri uçlarında yer alır; ÖSYM'de paralelkenar kesen doğru ve köşegen oranı problemlerinde bu bağıntı pratik bir araçtır.
Sayfadaki ispat, paralelliklerden ABK ~ CEK ve AFK ~ CBK benzerliklerini kurarak elde edilen mn oranlarını eşitler. Paralel doğru özellikleri ve A.A. benzerlik kriterini bilmek ön koşuldur. İki benzerlikten gelen oranların birleştirilmesi, Menelaus tipi oran ispatlarıyla aynı tekniği paylaşır.
AYT geometride x2 = y(y + z) formu, geometrik ortalama bağlantısı taşıyan nadir paralelkenar sonuçlarından biridir. Adım adım kanıtı takip ederken hangi paralellikten hangi benzerliğin geldiğine dikkat etmek, karmaşık paralelkenar şekillerinde doğru oran bağıntısını kurmanızı sağlar. Paralelkenar köşegen ortalama ispatıyla birlikte okunduğunda paralelkenar oran araç setinin bütünlüğü görülür.
x2 = y(y + z) formülü, TYT–AYT'de paralelkenar kesen doğru sorularının ileri aracıdır. Benzerlik ispatı (ABK ~ CEK) ispatın anahtar adımıdır. ÖSYM'de paralelkenar oran sorularında kullanılabilir.