Karede Köşegenler Birbirini Dik Keser
ABCD bir kare. Köşegenlerinin kesişim noktası P'de dik açı oluşturduğunun, yani m(AP̂B) = 90° olduğunun ispatı.
Teorem
ABCD bir kare ve köşegenleri P noktasında kesişir. m(AP̂B) = 90° olduğu ispat edilecektir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Önceki teoremden α = β = 45° bilindiğinden △APB'de iç açılar toplamı kullanılır.- 1Çıkarım
△APB'de α + β + m(AP̂B) = 180°
Üçgenin iç açıları toplamı 180°; m(PÂB) = α, m(PB̂A) = β.
- 2Sonuç
α = β = 45° olduğundan 45 + 45 + m(AP̂B) = 180° ⇒ m(AP̂B) = 90°
Kare-kosegen-aci-aciortay ispatından α = β = 45°; adım 1'e yerleştirilir.
Sonuç ∎
Karenin köşegenleri birbirini dik keser: m(AP̂B) = 90°. ∎Karede Köşegenler Birbirini Dik Keser Hakkında
Karede köşegenler birbirini dik keser teoremi, ABCD karesinde köşegenlerin P noktasında kesişmesi durumunda m(AP̂B) = 90° olduğunu ifade eder. TYT geometride kare köşegen sorularının en sık kullanılan sonuçlarından biridir; ÖSYM'de kare simetri, dik açı ve köşegen kesişim noktası problemlerinde doğrudan uygulanır.
İspat son derece kısa ve zariftir: önceki teoremden köşegenlerin köşe açılarını 45°'ye böldüğü bilindiğinden △APB'de 45° + 45° + m(AP̂B) = 180° yazılır ve m(AP̂B) = 90° bulunur. Kare köşegenleri açı açıortay ispatını önceden bilmek zorunludur. Üçgenin iç açıları toplamı bu kanıtın tek geometrik aracıdır.
AYT geometride kare köşegenlerinin dik kesişimi, dikdörtgen ve eşkenar dörtgen köşegen ispatlarıyla karşılaştırma yapmak için referans noktası oluşturur. Adım adım ispatı okurken 45° + 45° = 90° mantığını netleştirmek, eşkenar dörtgen köşegen açı sorularında doğru bağıntıyı kurmanızı sağlar. Kare köşegenleri eşit böler ispatıyla birlikte okunduğunda kare köşegen sisteminin tam resmi ortaya çıkar.
Köşegenlerin dik kesişimi, TYT'de kare ve dikdörtgen sorularının temel özelliklerinden biridir. ÖSYM'de köşegen kesişim açısı 90° olarak doğrudan kullanılır. 45° + 45° = 90° mantığı ispatın özüdür.