Paralelkenarda Köşegenle Oluşan Üçgenlerin Alanları
Paralelkenar ABCD'de [AC] köşegeni ile oluşan A(ABC) = S1 ve A(ADC) = S2 alanlarının eşit olduğunun yükseklik ve taban uzunluğu ile ispatı.
Teorem
ABCD bir paralelkenar; |BC| = |AD| = a, |AB| = |CD| = b, A(ABC) = S1, A(ADC) = S2 ise S1 = S2 dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
A köşesinden [BC] kenarına indirilen yükseklik h ile her iki üçgenin alanı 12·h·a biçiminde yazılır; oran alınarak S1 = S2 elde edilir.- 1Veri
ABCD bir paralelkenar; |BC| = |AD| = a, |AB| = |CD| = b, A(ABC) = S1, A(ADC) = S2 olsun. A köşesinden [BC] kenarına [AH] dikmesi indirelim; |AH| = h.
Veri, tanımlar ve yardımcı yapı
- 2Çıkarım
A(ABC) = 12·h·|BC| = 12·h·a = S1 (1)
ABC üçgeninde taban [BC], yükseklik [AH] = h dir; |BC| = a.
- 3Çıkarım
A(ADC) = 12·h·|AD| = 12·h·a = S2 (2)
ADC üçgeninde taban [AD], |AD| = a; [BC] // [AD] olduğundan C köşesinden [AD]'ye indirilen yükseklik de h dir.
- 4Sonuç
S1S2 = 1 ⇒ S1 = S2
(1) ve (2) denklemleri taraf tarafa oranlanır.
Sonuç ∎
Paralelkenarın köşegeni iki eş alanlı üçgene böler: S1 = S2 elde edilir. ∎Paralelkenarda Köşegenle Oluşan Üçgenlerin Alanları Hakkında
Paralelkenarda köşegenle oluşan üçgenlerin alanları teoremi, [AC] köşegeni ile A(ABC) = A(ADC) olduğunu belirtir. TYT geometride paralelkenar alan sorularının temelidir; ÖSYM'de köşegenle bölünmüş alan sorularında her iki üçgenin eşit alanlı olduğunu bilmek süreyi kısaltır. Paralelkenar alan formülü ispatının doğrudan ön adımı niteliğindedir.
İspat, A köşesinden [BC] kenarına indirilen yükseklik h ile her iki üçgenin alanı 12·h·a biçiminde yazılır; a ortak tabandır. [BC] // [AD] olduğundan C köşesinden [AD]'ye indirilen yükseklik de h'dir; bu ortak yükseklik mantığı ispatın özüdür. Üçgen alan formülünü bilmek yeterlidir.
Eşit yükseklik alan oranı teoremiyle aynı prensibi paylaşır. AYT geometride paralelkenar iç nokta alan sorularında köşegen bölme adımı sıkça devreye girer. Adım adım ispatı takip ederken ortak yükseklik argümanını netleştirmek, yamuk ve paralelkenar alan ispatlarında aynı mantığı uygulamanıza yardımcı olur.
S₁ = S₂ kuralı, TYT'de paralelkenar alan sorularının temelidir. Ortak yükseklik mantığı ispatın özüdür. Paralelkenar alan formülü ispatının doğrudan ön adımıdır. Köşegen bir paralelkenarı iki eş alanlı üçgene böler; bu sonuç paralelkenar alan formülünün (a·h) türetiminde doğrudan kullanılır. Ortak yükseklik argümanını anlamak TYT alan sorularında kritiktir. İki eş alanlı üçgenin ortak tabanı köşegenin yarısıdır; bu sonuç paralelkenar alanı hesaplarken "yarısını bul, iki katla" stratejisinin temelidir.