Paralelkenarda İç Noktanın Alan Bölmesi
Paralelkenar ABCD içindeki bir P noktasından köşelere çizilen doğrularla oluşan S1, S2, S3, S4 alanları için S1 + S3 = S2 + S4 bağıntısının ispatı.
Teorem
ABCD bir paralelkenar; P paralelkenar içinde bir nokta olsun. S1 = A(△APD), S2 = A(△DPC), S3 = A(△BPC), S4 = A(△APB) ise S1 + S3 = S2 + S4 dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
P'den geçen [GH] ⊥ [AD], [BC] çizilir; paralelkenar alanı (h1 + h2)·b ve üçgen alanları 12·h1·b, 12·h2·b ile yazılıp S1 + S3 ile S2 + S4 karşılaştırılır.- 1Yapı
P noktasından geçecek şekilde [AD] ile [BC] arasında [GH] dik doğru parçası çizilsin; |AB| = a, |BC| = b olsun
Yardımcı yükseklik inşası; |GP| = h1, |PH| = h2.
- 2Çıkarım
A(ABCD) = (h1 + h2) · b (1)
Paralelkenar alanı = taban · yükseklik; |BC| = b, toplam yükseklik h1 + h2.
- 3Çıkarım
A(ABCD) = S1 + S2 + S3 + S4 (2)
P noktası paralelkenarı dört üçgene böler.
- 4Çıkarım
S1 = 12 · h1 · b, S3 = 12 · h2 · b ⇒ S1 + S3 = (h1 + h2) · b2 (3)
△APD ve △BPC üçgenlerinde |AD| = |BC| = b; yükseklikler sırasıyla h1 ve h2.
- 5Çıkarım
(3) ⇒ A(ABCD) = (h1 + h2) · b2 + S2 + S4 (4)
(2) denkleminde S1 + S3 yerine (3) yazılır.
- 6Çıkarım
(1) = (4) ⇒ S2 + S4 = (h1 + h2) · b2 (5)
(1) ve (4) eşitlenir; S2 + S4 izole edilir.
- 7Sonuç
(3) ve (5) ⇒ S1 + S3 = S2 + S4
Her iki taraf da (h1 + h2) · b2 ye eşittir.
Sonuç ∎
Karşılıklı üçgen alanları toplamı S1 + S3 = S2 + S4 elde edilir. ∎Paralelkenarda İç Noktanın Alan Bölmesi Hakkında
Paralelkenarda iç noktanın alan bölmesi teoremi, P paralelkenar içinde iken S₁ + S₃ = S₂ + S₄ olduğunu belirtir; S₁, S₂, S₃, S₄ köşegenlerle oluşan dört üçgenin alanlarıdır. TYT–AYT geometride paralelkenar iç nokta sorularının temelidir; ÖSYM'de iç noktanın alan bölme oranları sorulduğunda bu bağıntı doğrudan uygulanır.
İspat, P noktasından kenarlara paralel doğrular çizilerek alan eşitlikleri kurulur. Paralelkenar alan formülü ve köşegen ortalama teoremi faydalıdır. Paralellikten gelen alan eşitlikleri, ispatın yaratıcı yapı taşlarını oluşturur.
Adım adım ispatı takip ederken alan eşitliklerinin hangi paralellikten geldiğine dikkat etmek, dikdörtgen iç nokta kare bağıntısıyla birlikte okunduğunda dörtgen iç nokta teoremlerinin çeşitliliğini görmenizi sağlar. AYT geometride iç nokta sorularında alan yerine mesafe verildiğinde British Flag teoremine geçiş yapılabilir.
S₁ + S₃ = S₂ + S₄ kuralı, TYT–AYT'de paralelkenar iç nokta alan sorularının temelidir. ÖSYM'de iç noktanın alan bölme oranları sorulduğunda bu bağıntı doğrudan uygulanır. Dikdörtgen iç nokta kare bağıntısı ile karşılaştırma yapmak faydalıdır. S₁+S₃=S₂+S₄ bağıntısı paralelkenar iç nokta sorularında alan oranı bulmanın en hızlı yoludur; P noktasının konumundan bağımsız olarak karşılıklı alan toplamları eşittir. Karşılıklı alan toplamları eşitliği P'nin konumundan bağımsızdır; TYT sorularında dört alan verildiğinde bilinmeyeni tek denklemden bulabilirsiniz.