Paralelkenar Alan Formülü
Paralelkenar ABCD'nin alanının taban-yükseklik çarpımı ile A(ABCD) = a·ha = b·hb olduğunun köşegenle oluşan eş alanlı üçgenler üzerinden ispatı.
Teorem
ABCD bir paralelkenar; |BC| = |AD| = a, |AB| = |CD| = b, |AH| = ha, |AK| = hb ise A(ABCD) = a·ha = b·hb dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[AC] köşegeni çizilir; A(ABC) = A(ADC) olduğundan ha·a = hb·b bulunur, paralelkenar alanı iki üçgen alanının toplamı olarak a·ha = b·hb biçiminde yazılır.- 1Yapı
[AC] köşegenini çizelim.
Paralelkenarı iki üçgene bölmek için yardımcı yapı.
- 2Çıkarım
A(ABC) = A(ADC)
Bir önceki teoremden (köşegenle oluşan üçgenlerin alanları eşittir).
- 3Çıkarım
12·ha·a = 12·hb·b ⇒ ha·a = hb·b
ABC için taban a ve yükseklik ha; ADC için taban b ve yükseklik hb ile alanlar yazılıp eşitlenir.
- 4Çıkarım
A(ABCD) = A(ABC) + A(ADC)
Paralelkenar alanı, köşegenle oluşan iki üçgenin alanları toplamıdır.
- 5Çıkarım
A(ABCD) = 12·ha·a + 12·hb·b
Adım 4'te her üçgen alanı taban·yükseklik2 biçiminde yazılır.
- 6Çıkarım
ha·a = hb·b ⇒ A(ABCD) = 12·ha·a + 12·ha·a = ha·a = hb·b
Adım 3'teki eşitlik Adım 5'te yerine konur.
- 7Sonuç
A(ABCD) = a·ha = b·hb
Adım 6 sadeleştirilir.
Sonuç ∎
Paralelkenar alan formülü: A(ABCD) = a·ha = b·hb elde edilir. ∎Paralelkenar Alan Formülü Hakkında
Paralelkenar alan formülü, ABCD paralelkenarında A(ABCD) = a·ha = b·hb bağıntısını verir. TYT geometrinin temel alan formüllerinden biridir; ÖSYM'de paralelkenar alanı, yükseklik ve kenar sorularında doğrudan uygulanır. İki komşu kenara ait yükseklikler farklı olabilir; doğru yüksekliği seçmek sınav hatasını önler.
İspat, [AC] köşegeni çizilir; A(ABC) = A(ADC) olduğundan ha·a = hb·b bulunur. Köşegen alan bölme teoremi ön koşuldur. Paralelkenar sinüs alan formülü bu sonucun trigonometrik uzantısıdır; açı bilgisi verildiğinde a·b·sin α tercih edilir.
Adım adım ispatı takip ederken iki komşu kenara ait yüksekliklerin neden farklı olduğuna dikkat etmek, yamuk alan formülü ispatındaki benzer bölme tekniğini anlamanıza katkı sağlar. AYT geometride taban–yükseklik formülü, koordinat geometride determinant yöntemiyle birlikte değerlendirilir.
A = a·ha = b·hb formülü, TYT'de paralelkenar alanı sorularının standart aracıdır. ÖSYM'de kenar ve yükseklik verildiğinde alan doğrudan yazılır. Köşegen alan bölme teoremi ispatın ön adımıdır. Paralelkenar alanı hesaplarken hangi kenara ait yüksekliği kullandığınıza dikkat edin; ha kenar a'ya, hb kenar b'ye aittir. Köşegen bölme ispatı bu formülün temel gerekçesidir. Taban ve yükseklik dik olmalıdır; eğik yükseklik hata yapmanın en yaygın nedenidir. Köşegen bölme ispatı bu formülün gerekçesini netleştirir.