Paralelkenarın Alanı (Köşegenler ve Sinüs)
Paralelkenar ABCD'de |AC| = e, |BD| = f ve köşegenler arasındaki açı α iken A(ABCD) = e · f2 · sinα olduğunun sinüs alan formülü ile ispatı.
Teorem
ABCD bir paralelkenar; [AC] ve [BD] köşegen, m(DPC) = α, |AC| = e, |BD| = f ise A(ABCD) = e · f2 · sinα dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Köşegenler birbirini ortaladığından yarım köşegen uzunlukları yazılır; A(ABCD) = 2[A(ABP) + A(BPC)] açılıp △ABP ve △BPC sinüs alan formülüyle toplanır.- 1Veri
ABCD bir paralelkenar; |AC| = e, |BD| = f, m(DPC) = α olsun
Veri; [AC] ve [BD] köşegenler P noktasında kesişir.
- 2Çıkarım
|AP| = |PC| = e2, |BP| = |PD| = f2
Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar (bkz. paralelkenar-kosegen-ortalamasi).
- 3Çıkarım
A(ABCD) = 2 · A(ABC) ⇒ A(ABCD) = 2[A(ABP) + A(BPC)]
Paralelkenar alanı, köşegenle oluşan eş alanlı üçgenlerin toplamının iki katıdır.
- 4Çıkarım
A(ABP) = 12 · e2 · f2 · sinα, A(BPC) = 12 · f2 · e2 · sin180° - α
m(APB) = α (ters açı); m(BPC) = 180° − α; sinüs alan formülü.
- 5Sonuç
sin180° - α = sinα ⇒ A(ABCD) = 2 \left( e · f8 · sinα + e · f8 · sinα \right) = e · f2 · sinα
Adım 3 ve 4 birleştirilir; sinα terimleri toplanır.
Sonuç ∎
Paralelkenar köşegen sinüs alan formülü: A(ABCD) = e · f2 · sinα elde edilir. ∎Paralelkenarın Alanı (Köşegenler ve Sinüs) Hakkında
Paralelkenarın alanı (köşegenler ve sinüs) formülü, m(DPC) = α, |AC| = e, |BD| = f iken A(ABCD) = e \cdot f2 \cdot \sin \alpha bağıntısını verir. TYT–AYT geometride köşegen uzunlukları ve açı verildiğinde alan hesaplamanın alternatif yoludur; taban–yükseklik formülüne göre köşegen bilgisi verildiğinde bu formül tercih edilir.
İspat, köşegenler birbirini ortaladığından yarım köşegen uzunlukları yazılır; A(ABCD) = 2[A(ABP) + A(BPC)] biçiminde bölünüp sinüs formülü uygulanır. Köşegen ortalama ve sinüs alan formülü ön koşuldur. P noktasındaki α açısının tanımını doğru kurmak ispatın kritik adımıdır.
ÖSYM'de köşegen ve açı verildiğinde paralelkenar alanı sorularında doğrudan devreye girer. Adım adım ispatı takip ederken dörtgen alan formülleri arasında doğru seçim yapmanızı sağlar. Paralelkenar sinüs alan formülüyle birlikte okunduğunda alan araç setinin bütünlüğü görülür.
A = ef2 \sin \alpha formülü, TYT–AYT'de köşegen ve açı verildiğinde paralelkenar alanının alternatif yoludur. Köşegen ortalama ve sinüs alan formülü ispatlarının birleşimidir. Köşegen sinüs alan formülü, köşegen uzunlukları ve aralarındaki açı verildiğinde paralelkenar alanını bulmanın pratik yoludur; P noktasındaki α açısının tanımını şekilden doğru okumak gerekir. e ve f tam köşegen uzunluklarıdır; P noktasındaki α açısı köşegenler arasındaki dar açıdır. Formül alternatif alan yöntemi olarak TYT–AYT sorularında kullanılır.