Dik Üçgende Kenarortay Bağıntısı
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay Va için 5Va² = Vb² + Vc² bağıntısının kenarortay toplam formülü, Pisagor ve 2Va = a ile ispatı.
Teorem
ABC bir dik üçgen, [AB] ⊥ [AC], |AB| = c, |AC| = b, |BC| = a ve Va, Vb, Vc kenarortaylar olmak üzere 5 · Va² = Vb² + Vc² dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
3(a² + b² + c²) = 4(Va² + Vb² + Vc²) bağıntısına Pisagor (c² + b² = a²) ve dik üçgende 2Va = a yazılarak sadeleştirme yapılır.- 1Veri
ABC bir dik üçgen, [AB] ⊥ [AC], |AB| = c, |AC| = b, |BC| = a olsun. Va, Vb, Vc sırasıyla [BC], [AC], [AB] kenarlarına ait kenarortaylardır.
- 2Çıkarım
3(a² + b² + c²) = 4(Va² + Vb² + Vc²)
Kenarortay uzunluk bağıntısı — (1)
- 3Çıkarım
2Va = |BC| = a
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır — (2)
- 4Çıkarım
c² + b² = a²
Pisagor bağıntısı — (3)
- 5Çıkarım
3(a² + b² + c²) = 4(Va² + Vb² + Vc²) ifadesinde b² + c² yerine a² yazılırsa 3(a² + a²) = 4(Va² + Vb² + Vc²)
(3) denklemi (1) içinde b² + c² yerine konur.
- 6Çıkarım
6a² = 4(Va² + Vb² + Vc²) ⇒ 3a² = 2(Va² + Vb² + Vc²)
Adım 5 sadeleştirilir — (4)
- 7Çıkarım
3(2Va)² = 2(Va² + Vb² + Vc²)
(2) denklemindeki a = 2Va değeri (4) içinde yerine yazılır.
- 8Çıkarım
12Va² = 2(Va² + Vb² + Vc²) ⇒ 6Va² = Va² + Vb² + Vc²
Adım 7 açılıp her iki taraf 2 ile sadeleştirilir.
- 9Sonuç
5Va² = Vb² + Vc²
Va² terimi karşı tarafa geçirilerek sonuç elde edilir.
Sonuç ∎
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay için 5Va² = Vb² + Vc² dir. ∎Dik Üçgende Kenarortay Bağıntısı Hakkında
Dik üçgende kenarortay bağıntısı, ABC dik üçgeninde 5·Va^2 = Vb^2 + Vc^2 formülünü verir; Va hipotenüse, Vb ve Vc dik kenarlara ait kenarortaylardır. TYT–AYT geometride dik üçgen kenarortay sorularının özelleşmiş sonucudur.
İspat, genel kenarortay bağıntısına Pisagor (c2 + b2 = a2) ve muhteşem üçlü (2Va = a) yerleştirilerek elde edilir. Kenarortay uzunluk bağıntısı ve Pisagor ön koşullardır. ÖSYM'de kenarortay uzunluğu hesaplama sorularında bu özel formül pratik bir kısayol sunar.
Adım adım ispatı takip ederken genel formülden özel duruma geçişi izlemek, AYT'de "özel üçgende genel formülü sadeleştirme" becerisini geliştirir.
5·Va^2 = Vb^2 + Vc^2 formülü, TYT'de dik üçgen kenarortayı sorularında genel Apollonius formülüne göre daha hızlı sonuç verir. AYT'de cosinüs teoremi ile kenarortay uzunluk bağıntısının birleştirilmesinde bu özel durum kullanılır. Muhteşem üçlü (2Va = a) ve Pisagor bağıntısının birlikte devreye girmesi, ispatın anahtar adımıdır. Sınavda "dik üçgende hipotenüse ait kenarortay" ifadesini gördüğünüzde bu formülü hatırlamak faydalıdır. Genel kenarortay bağıntısını bilmek bu özel formülü türetmenin en kısa yoludur; sınavda hangi formülün daha pratik olduğuna karar vermek süreyi kısaltır.