Kenarortay Uzunluk Bağıntısı
BC kenarına ait kenarortay Va için b² + c² = 2Va² + a²2 bağıntısının yükseklik inşası ve Pisagor ile ispatı; diğer kenarortaylar ve 3(a² + b² + c²) = 4(Va² + Vb² + Vc²) sonucu.
Teorem
ABC bir üçgen, Va = [BC] kenarına ait kenarortay, |BC| = a, |AB| = c ve |AC| = b olmak üzere b² + c² = 2 · Va² + a²2 dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[BC] kenarına ait yükseklik [AH] çizilir; ABH ve ACH dik üçgenlerinde Pisagor yazılıp toplanır, ADH dik üçgeninde Va² = h² + x² yerine konarak b² + c² = 2Va² + a²2 elde edilir; aynı yöntem diğer kenarortaylarla genellenir.- 1Veri
ABC bir üçgen, Va = [BC] kenarına ait kenarortay, |BC| = a, |AB| = c, |AC| = b olsun. D, [BC]'nin orta noktasıdır; |AD| = Va.
- 2Yapı
[BC] kenarına ait yükseklik [AH] çizilsin; |AH| = h ve |DH| = x olsun. H, D ile C arasında (B — D — H — C) alınır.
Yardımcı yükseklik inşası
- 3Çıkarım
ABH dik üçgeninde c² = h² + a2 + x²
Pisagor bağıntısı; |BH| = |BD| + |DH| = a2 + x — (1)
- 4Çıkarım
ACH dik üçgeninde b² = h² + a2 − x²
Pisagor bağıntısı; |HC| = |DC| − |DH| = a2 − x — (2)
- 5Çıkarım
b² + c² = 2h² + a2 + x² + a2 − x² = 2h² + a²4 + ax + x² + a²4 − ax + x²
(1) ve (2) taraf tarafa toplanır; kareler açılır.
- 6Çıkarım
b² + c² = 2h² + 2x² + a²2 = 2(h² + x²) + a²2
Adım 5 sadeleştirilir — (3)
- 7Çıkarım
ADH dik üçgeninde Va² = h² + x²
Pisagor bağıntısı; |AD| = Va, |DH| = x, |AH| = h
- 8Çıkarım
b² + c² = 2Va² + a²2
h² + x² = Va² değeri (3) denkleminde yerine yazılır — (4)
- 9Çıkarım
Benzer şekilde a² + b² = 2Vc² + c²2— (5) ve a² + c² = 2Vb² + b²2— (6)
Aynı yöntem [AC] ve [AB] kenarlarına ait kenarortaylar için uygulanır.
- 10Sonuç
(4), (5) ve (6) taraf tarafa toplanırsa 3(a² + b² + c²) = 4(Va² + Vb² + Vc²)
Sol taraf 2(a² + b² + c²), sağ taraf 2(Va² + Vb² + Vc²) + a² + b² + c²2 olur; düzenlenince sonuç elde edilir.
Sonuç ∎
BC kenarına ait kenarortay için b² + c² = 2Va² + a²2 dir. Üç kenarortay bağıntısı toplanınca 3(a² + b² + c²) = 4(Va² + Vb² + Vc²) elde edilir. ∎Kenarortay Uzunluk Bağıntısı Hakkında
Kenarortay uzunluk bağıntısı — Apollonius teoremi —, ABC üçgeninde b2 + c2 = 2·Va^2 + a22 formülünü verir; Va, [BC] kenarına ait kenarortaydır. TYT–AYT geometride kenarortay uzunluğu hesaplama sorularının temel formülüdür.
İspat, [BC] kenarına ait yükseklik [AH] çizilir; ABH ve ACH dik üçgenlerinde Pisagor yazılıp toplanır, ADH dik üçgeni ile sadeleştirilir. Pisagor bağıntısını bilmek ön koşuldur. ÖSYM'de kenarortay uzunluğu, üçgen kenarları verildiğinde Va bulma sorularında doğrudan uygulanır.
Dik üçgende kenarortay bağıntısı bu genel formülün özel durumudur. Adım adım ispatı takip ederken üç Pisagor eşitliğinin nasıl birleştirildiğine dikkat etmek, cosinüs teoremi türetimlerinde benzer cebirsel teknikleri kullanmanıza katkı sağlar.
Apollonius teoremi, TYT–AYT'de üç kenarı verilen üçgende kenarortay uzunluğu hesaplamanın standart formülüdür. ÖSYM'de Va, Vb, Vc sorularında b2 + c2 = 2Va^2 + a22 doğrudan uygulanır. Dik üçgende kenarortay bağıntısı bu genel formülün özel durumudur. İspatın üç Pisagor eşitliğini birleştirme tekniği, cosinüs teoremi türetimlerinde de kullanılır. ÖSYM'de üç kenar verildiğinde kenarortay uzunluğu sorularında bu formül alternatif olarak cosinüs teoremiyle de bulunabilir; hangi yolun daha kısa olduğuna sayılara bakarak karar verin.