Muhteşem Üçlü
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın, hipotenüsün yarısı kadar olduğunun benzerlik ve üçgen özdeşliği ile ispatı.
Teorem
ABC dik üçgeninde [AD] hipotenüse ait kenarortay olmak üzere 2 · |AD| = |BC|'dir; yani |AD| = |BD| = |DC|.Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
AB'ya paralel DF çizerek benzerlikten F'nin AC'nin orta noktası olduğunu gösterme; ADF ile CDF üçgenlerinin K.A.K. ile özdeş olduğunu kanıtlama.- 1Veri
ABC bir dik üçgen, m(BÂC) = 90° ve [AD] hipotenüse ait kenarortaydır; D ∈ [BC] ile |BD| = |DC|.
- 2Yapı
[AB] dik kenarına paralel bir [DF] doğru parçası çizilir (F ∈ [AC]).
Yardımcı doğru inşası
- 3Çıkarım
DF ∥ AB olduğundan ACB ~ FCD.
Ortak açı C ve DF ∥ AB olduğundan karşılıklı açılar eşit olur; iki üçgen benzerdir (A.A.).
- 4Çıkarım
Benzerlikten |CF| = |FA| olur; F, [AC]'nin orta noktasıdır.
Benzerlik oranı CFCA = CDCB = 12 olduğundan |CF| = |CA|2 = |FA| olur.
- 5Çıkarım
AB ⟂ AC ve DF ∥ AB olduğundan DF ⟂ AC; m(DF̂C) = 90°.
Paralel doğruya dik olan doğru, diğer paralele de diktir.
- 6Çıkarım
ADF ≅ CDF (K.A.K.).
|AF| = |FC| (Adım 4), [DF] ortak kenar ve m(AFD) = m(CFD) = 90° (Adım 5).
- 7Çıkarım
|AD| = |DC|.
Özdeş üçgenlerin karşılıklı kenarları eşittir.
- 8Sonuç
2 · |AD| = |BC|.
D orta nokta olduğundan |DC| = |BC|2; Adım 7 ile |AD| = |BC|2 yazılır.
Sonuç ∎
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır: |AD| = |BD| = |DC| ve 2 · |AD| = |BC|. ∎Muhteşem Üçlü Hakkında
Muhteşem üçlü teoremi, ABC dik üçgeninde hipotenüse ait kenarortay [AD] için 2·|AD| = |BC| bağıntısını verir. TYT geometride dik üçgen sorularının klasik sonuçlarından biridir; ÖSYM'de hipotenüs kenarortayı uzunluğu doğrudan sorulabilir veya ara adım olarak kullanılır.
İspat, D noktasında çevrel çember merkezi inşasına dayanır: hipotenüsü gören çevre açısı 90° olduğundan merkez hipotenüs orta noktasında yer alır. Pisagor bağıntısını bilmek faydalıdır. AYT geometride muhteşem üçlü, cosinüs teoremi ve kenarortay uzunluk bağıntısı ispatlarının özel durumlarıyla ilişkilidir.
Adım adım kanıtı takip ederken çevrel çember–dik açı bağlantısını not etmek, çember–üçgen sorularında güçlü bir sezgi kazandırır.
Muhteşem üçlü, TYT'de hipotenüs kenarortayı sorularının en kısa çözüm yoludur: |BC| verildiğinde |AD| = |BC|2 doğrudan yazılır. AYT'de çevrel çember yarıçapı R = a2 (hipotenüs çap) sonucunun temelidir. İspatın çevrel çember merkezi inşası, çember–dik üçgen bağlantısını pekiştirir. ÖSYM'de "hipotenüse ait kenarortay" ifadesini gördüğünüzde muhteşem üçlüyü hatırlamak, yardımcı çizgi kurmadan sonuca ulaşmanızı sağlar. Sınavda tam ispat yazarken D noktasının çevrel çember merkezi olduğunu belirtmek ve hipotenüsü gören çevre açısının 90° olduğunu gerekçelendirmek tam puan için yeterlidir.