Teğet–Kiriş Kuvvet Teoremi
T teğet değme noktası; P dış nokta; kesen P–A–B; |PT| = x, |PA| = y, |AB| = z iken x2 = y(y + z) bağıntısının benzerlik ile ispatı.
Teorem
T noktası O merkezli çember ile teğetin değme noktası; P noktası [PT] ile [PB] doğru parçalarının kesim noktası; A, B çember üzerinde, P, A, B doğrusal; |PT| = x, |PA| = y, |AB| = z ise x2 = y(y + z) dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[AT] ve [BT] birleştirilir; çevre açı ve teğet–kiriş açı teoremiyle eş açılar bulunur; △PTB ~ △PAT benzerliği kurularak x2 = y(y + z) elde edilir.- 1Yapı
T noktasını A ve B noktalarına birleştiren [AT] ve [BT] doğru parçalarını çizelim; m(PBT) = α olsun
İspat inşası; yardımcı üçgenler PTB ve PAT oluşturulur.
- 2Çıkarım
m(PBT) = α ⇒ AT yayının ölçüsü 2α ⇒ m(PTA) = α
m(PBT) çevre açısı AT yayının yarısına eşittir; teğet–kiriş açı teoremiyle m(PTA) = α bulunur.
- 3Çıkarım
m(PAT) = θ ⇒ m(PTB) = θ
△PAT ve △PTB'de m(TPA) = β ortak, m(PBT) = m(PTA) = α olduğundan kalan iç açılar eşittir.
- 4Çıkarım
△PTB ~ △PAT
Üç açısı eşit olduğundan A.A.A. benzerlik.
- 5Çıkarım
PTB ~ PAT ⇒ |PT||PA| = |PB||PT| ⇒ xy = y + zx
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar oranları eşittir; |PB| = y + z.
- 6Sonuç
x2 = y(y + z)
Adım 5'teki oran çapraz çarpım yapılarak sadeleştirilir.
Sonuç ∎
Teğet–kiriş kuvvet teoremi: x2 = y(y + z) elde edilir. ∎Teğet–Kiriş Kuvvet Teoremi Hakkında
Teğet–kiriş kuvvet teoremi, P noktasından [PT] teğet ve [PB] kirişi çizildiğinde |PT|2 = |PB|·(|PB| + |BA|) bağıntısını verir. TYT–AYT geometrinin en sık kullanılan çember kuvvet formüllerinden biridir.
İspat, [AT] ve [BT] birleştirilir; çevre açı ve teğet–kiriş açı teoremiyle eş açılar bulunur; △PTB ~ △PAT benzerliği kurulur. Teğet–kiriş açı teoremi ön koşuldur. ÖSYM'de teğet uzunluğu ve kiriş kesim sorularında doğrudan uygulanır.
Adım adım ispatı takip ederken |PT|2 formunun neden ortaya çıktığına dikkat etmek, dış kuvvet teoremiyle birlikte okunduğunda kuvvet teoremleri ailesinin tutarlılığını görmenizi sağlar.
|PT|2 = |PB|·|PA| formülü, TYT–AYT'de teğet uzunluğu sorularının en sık kullanılan aracıdır. ÖSYM'de teğet ve kiriş kesim uzunlukları verildiğinde bilinmeyen doğrudan bulunur. Dış kuvvet teoremi ile birlikte okunduğunda kuvvet teoremleri ailesi tamamlanır. Teğet uzunluğu sorularında |PT|2 ifadesi her iki tarafta da görülür; △PTB ~ △PAT benzerliği ispatın kalbidir ve teğet–kiriş açı eşitliklerine dayanır. |PT|2=|PB|·|PA| formülü TYT çember sorularının en pratik araçlarındandır; teğet uzunluğu bilindiğinde kiriş kesimini veya tersini doğrudan bulabilirsiniz.