Teğet–Kiriş Açı Teoremi
T teğet noktası, TCB yayı α olmak üzere teğet ile [TB] kirişi arasındaki açı x iken x = α2 bağıntısının ikizkenar üçgen OTB ve teğet–merkez dikliği ile ispatı.
Teorem
T noktası teğetin O merkezli çembere değme noktası, C ve B çember üzerinde birer nokta olmak üzere, teğet ile [TB] kirişi arasındaki açı x ve TCB yayının ölçüsü α ise x = α2 dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
OTB ikizkenar üçgeni kurulur; teğet–merkez dikliğinden x + β = 90°; üçgen açı toplamından α2 + β = 90° elde edilerek x = α2 bulunur.- 1Yapı
[OT] ve [OB] yarıçapları çizilirse OTB ikizkenar üçgeni elde edilir
|OT| = |OB| = r olduğundan OTB ikizkenar üçgendir.
- 2Çıkarım
m(OTB) = β ⇒ m(OBT) = β
İkizkenar üçgende taban açıları eşittir.
- 3Çıkarım
TCB yayının ölçüsü α ⇒ m(TOB) = α
Merkez açı, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
- 4Çıkarım
[OT] ⊥ [AT] ⇒ x + β = 90° (1)
Teğet–merkez diklik teoremi: yarıçap teğete dik keser; teğet–kiriş açısı x ile m(OTB) = β komplementerdir.
- 5Çıkarım
△OTB ⇒ α + 2β = 180° ⇒ α2 + β = 90° (2)
Bir üçgenin iç açıları toplamı 180° dir; her iki taraf 2'ye bölünür.
- 6Sonuç
(1) ve (2) ⇒ x = α2
(1) ve (2) denklemlerinde β ortak olduğundan x = α2 elde edilir.
Sonuç ∎
Teğet–kiriş açı teoremi: x = α2 elde edilir. ∎Teğet–Kiriş Açı Teoremi Hakkında
Teğet–kiriş açı teoremi, T teğet noktası, [TB] kirişi iken teğet ile kiriş arasındaki x açısının TB yayının α ölçüsünün yarısına eşit olduğunu söyler: x = \alpha2. TYT–AYT geometride teğet–kiriş açı sorularının temel formülüdür.
İspat, OTB ikizkenar üçgeni kurulur; teğet–merkez dikliğinden x + β = 90°; üçgen açı toplamından \alpha2 + \beta = 90° birleştirilerek x = \alpha2 bulunur. Teğet–merkez diklik ve çevre açı teoremi ön koşuldur.
ÖSYM'de teğet–kiriş açısı hesaplama sorularında doğrudan uygulanır. Adım adım ispatı takip ederken ikizkenar üçgen ve diklik adımlarının sırasına dikkat etmek, teğet–kiriş kuvvet teoremi ispatına hazırlık sağlar.
x = \alpha2 kuralı, TYT–AYT'de teğet–kiriş açı sorularının standart formülüdür. Çevre açı teoremi ile aynı mantığa dayanır: teğet–kiriş açısı da yarım yay açısıdır. Teğet–kiriş kuvvet teoremi ispatının ön adımıdır. Teğet–kiriş açısı, aynı yayı gören çevre açısına eşittir; bu nedenle TYT sorularında teğet–kiriş açısı sorulduğunda çevre açı teoremine indirgeme yapılabilir. Teğet–kiriş açısı ile çevre açısı arasındaki eşitlik, TYT sorularında açıyı bulmanın en kısa yoludur; OTB ikizkenar üçgeni ispatın kritik yapı taşıdır.