Dış Teğet Dikme Bağıntısı
A, B teğet değme noktaları; [CE] ⊥ [PA], [DE] ⊥ [PB], [EF] ⊥ [AB]; |EF| = x, |DE| = y, |CE| = z iken E çember üzerindeyken x2 = y · z bağıntısının benzerlik ile ispatı.
Teorem
A, B teğetlerin değme noktaları; [CE] ⊥ [PA], [DE] ⊥ [PB], [EF] ⊥ [AB]; |EF| = x, |DE| = y, |CE| = z ve E noktası O merkezli çember üzerinde olmak üzere x2 = y · z dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[AE] ve [BE] birleştirilir; çevre açı ve teğet–kiriş açı teoremiyle eş açılar bulunur; AEF ~ BED ve ACE ~ BFE benzerlikleri kurularak x2 = y · z elde edilir.- 1Yapı
E noktasını A ve B noktalarına birleştiren [AE] ve [BE] doğru parçalarını çizelim; m(EAB) = α olsun
İspat inşası; yardımcı üçgenler AEF, BED, ACE, BFE oluşturulur.
- 2Çıkarım
EB yayının ölçüsü 2α ⇒ m(EBD) = α
Çevre açı teoremi: bir yayın ölçüsünün yarısı, o yayı gören çevre açının ölçüsüdür.
- 3Çıkarım
m(EBA) = θ ⇒ EA yayının ölçüsü 2θ ⇒ m(EAC) = θ
Aynı yöntemle EA yayını gören çevre açı ve teğet–kiriş açı eşitlenir.
- 4Çıkarım
△AEF ~ △BED ve △ACE ~ △BFE
Her iki üçgen çiftinde üç açı eşit olduğundan A.A.A. benzerlik.
- 5Çıkarım
AEF ~ BED ⇒ |AE||BE| = |EF||ED| (1)
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar oranları eşittir.
- 6Çıkarım
ACE ~ BFE ⇒ |AE||BE| = |CE||FE| (2)
İkinci benzerlik çiftinden aynı oran elde edilir.
- 7Çıkarım
(1) ve (2) ⇒ |EF||ED| = |CE||FE| ⇒ xy = zx
Her iki denklemde |AE||BE| ortak olduğundan sadeleştirilir.
- 8Sonuç
x2 = y · z
Adım 7'deki oran çapraz çarpım yapılarak sadeleştirilir.
Sonuç ∎
Dış teğet dikme bağıntısı: x2 = y · z elde edilir. ∎Dış Teğet Dikme Bağıntısı Hakkında
Dış teğet dikme bağıntısı, A ve B teğet noktaları, [CE] ⊥ [PA], [DE] ⊥ [PB], [EF] ⊥ [AB] iken |EF|2 = |DE|·|CE| formülünü verir. AYT geometrinin ileri çember–teğet sonuçlarından biridir.
İspat, [AE] ve [BE] birleştirilir; çevre açı ve teğet–kiriş açı teoremiyle eş açılar bulunur; AEF ~ BED ve benzerlikler kurulur. Teğet–kiriş açı teoremi ön koşuldur. ÖSYM'de ileri teğet–dikme sorularında bu bağıntı kullanılabilir.
Adım adım ispatı takip ederken benzerlik oranlarının nasıl çarpımsal bağıntıya dönüştüğüne dikkat etmek, kuvvet teoremleri ailesindeki ortak yapıyı tanımanıza katkı sağlar.
|EF|2 = |DE|·|CE| formülü, AYT'de ileri teğet–dikme sorularının özgün sonucudur. Teğet–kiriş açı teoremi ve benzerlik ispatının birleşimidir. ÖSYM'de ileri çember sorularında bu bağıntı kullanılabilir. AYT ileri sorularında benzerlik zinciri kurmak gerekir; AEF ~ BED benzerliği ispatın kritik adımıdır ve teğet–kiriş açı eşitliklerine dayanır. AYT ileri çember sorularında benzerlik zinciri kurmak gerekir; teğet–kiriş açı eşitlikleri benzerlik kurulumunun temel gerekçesidir ve ispat adımlarında açıkça belirtilmelidir. Bu bağıntı AYT ileri çember sorularında nadir görülse de, teğet–kiriş açı eşitlikleri ve benzerlik bir arada kullanıldığında güçlü bir çözüm yolu sunar.