Açıortay–Çevrel Çember Bağıntısı
ABC köşeleri çember üzerinde; [AE] A açıortayı, D ∈ [BC], E çember üzerinde; |AB| = x, |AC| = y, |AD| = z, |DE| = t iken x · y = z(z + t) bağıntısının benzerlik ile ispatı.
Teorem
ABC köşeleri O merkezli çember üzerinde olan bir üçgen; E çember üzerinde, [AE] m(BÂC) açıortayı, D ∈ [BC]; |AB| = x, |AC| = y, |AD| = z, |DE| = t ise x · y = z(z + t) dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[BE] birleştirilir; çevre açı teoremiyle eş açılar bulunur; △ABE ~ △ADC benzerliği kurularak x · y = z(z + t) elde edilir.- 1Yapı
B noktasını E noktasına birleştiren [BE] doğru parçasını çizelim; m(ACD) = θ olsun
İspat inşası; yardımcı üçgenler ABE ve ADC oluşturulur.
- 2Çıkarım
m(ACD) = θ ⇒ AB yayının ölçüsü 2θ ⇒ m(AEB) = θ
m(ACD) çevre açısı AB yayının yarısına eşittir; aynı yayı gören m(AEB) = θ bulunur.
- 3Çıkarım
m(ADC) = m(ABE) = β
△ABE ve △ADC'de A köşesinde α, EC köşelerinde θ eşitliği vardır; iç açılar toplamından üçüncü açılar β olarak eşit bulunur.
- 4Çıkarım
△ABE ~ △ADC
Üç açısı eşit olduğundan A.A.A. benzerlik; [AE] açıortay olduğundan A köşesindeki α açıları ortaktır.
- 5Çıkarım
ABE ~ ADC ⇒ |AB||AD| = |AE||AC| ⇒ xz = z + ty
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar oranları eşittir; |AE| = z + t.
- 6Sonuç
x · y = z(z + t)
Adım 5'teki oran çapraz çarpım yapılarak sadeleştirilir.
Sonuç ∎
Açıortay–çevrel çember bağıntısı: x · y = z(z + t) elde edilir. ∎Açıortay–Çevrel Çember Bağıntısı Hakkında
Açıortay–çevrel çember bağıntısı, [AE] A köşesinin açıortayı, E çevrel çember üzerinde iken |AB|·|AC| = |AD|·(|AD| + |DC|) formülünü verir. AYT geometrinin ileri çember–açıortay sonuçlarından biridir.
İspat, [BE] birleştirilir; çevre açı teoremiyle eş açılar bulunur; △ABE ~ △ADC benzerliği kurularak x·y = z(z+t) elde edilir. İç açıortay teoremi ve çevre açı teoremi ön koşuldur.
ÖSYM'de çevrel çember üzerinde açıortay sorularında bu bağıntı kullanılabilir. Adım adım kanıtı takip ederken α = A2 açıortay sonucunun nerede devreye girdiğine dikkat etmek, açıortay–çember bağlantısını pekiştirir.
|AB|·|AC| = |AD|·(|AD| + |DC|) formülü, AYT'de çevrel çember üzerinde açıortay sorularının ileri aracıdır. İç açıortay teoremi ve çevre açı teoremi ispatlarının birleşimidir. ÖSYM'de ileri çember–açıortay sorularında kullanılabilir. Çevrel çember üzerinde açıortay sorularında △ABE ~ △ADC benzerliği ispatın anahtarıdır; α = A2 açıortay sonucu bu ispatın ön adımı olarak devreye girer. AYT çember–açıortay sorularında △ABE ~ △ADC benzerliği kurmak ispatın kalbidir; x·y=z(z+t) formülünü uygulamadan önce benzerlik gerekçesini netleştirin. Çevrel çember üzerinde açıortay sorularında x·y=z(z+t) formülünü uygulamadan önce △ABE ~ △ADC benzerliğinin gerekçesini ispat adımlarında açıkça belirtmek tam puan için gereklidir.