İç Açıortay Teoremi
Bir üçgende bir köşenin iç açıortayının karşı kenarı, komşu kenarlarla orantılı biçimde böldüğünün benzerlik ile ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen, |BN| = m, |NC| = n ve [AN] iç açıortay olmak üzere cb=m(n) dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[AB] kenarına paralel yardımcı doğru ile ikizkenar AKC üçgeni oluşturup ABN ile KCN benzerliğinden kenar oranlarını çıkarma.- 1Veri
ABC bir üçgen, |BN| = m, |NC| = n ve [AN] iç açıortaydır.
- 2Yapı
[AB] kenarına paralel ve C noktasından geçen d₁ doğrusu ile [AN] üzerinden geçen d₂ doğrusu çizilir; d₁ ∩ d₂ = K.
Yardımcı paralel doğru inşası
- 3Veri
m(BÂN) = m(CÂN) = α
[AN] iç açıortay olduğundan A köşesindeki açı ikiye eş bölünür.
- 4Çıkarım
m(ÂKC) = α ve AKC ikizkenar üçgendir.
d₁ // [AB] olduğundan AK keseniyle oluşan iç ters açılar eşittir; m(ÂKC) = m(BÂN) = α olur.
- 5Çıkarım
|CA| = |CK| = b
AKC ikizkenar üçgende α açılarına karşılık gelen kenarlar eşittir.
- 6Çıkarım
ABN ~ KCN
m(ABN) = m(KCN) = 180° − m(ABC) ve m(ANB) = m(KNC) (ters açılar) olduğundan iki açı eşit; A.A. benzerlik.
- 7Çıkarım
|AB||CK| = |BN||CN|
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir.
- 8Sonuç
cb=m(n)
|AB| = c, |CK| = b, |BN| = m ve |CN| = n yerine yazılarak sonuç elde edilir.
Sonuç ∎
İç açıortay teoremi: cb=m(n) dir. ∎İç Açıortay Teoremi Hakkında
İç açıortay teoremi, ABC üçgeninde [AN] iç açıortay, |BN| = m, |NC| = n iken cb = mn bağıntısını verir. TYT–AYT geometrinin en sık kullanılan oran teoremlerinden biridir; ÖSYM'de açıortay, benzerlik ve alan oranı sorularında doğrudan uygulanır.
İspat, [AB] kenarına paralel yardımcı doğru ile ikizkenar AKC üçgeni oluşturup ABN ~ KCN benzerliğinden kenar oranı çıkarır. Paralel doğru ve benzerlik ön koşullardır. AYT geometride iç açıortay uzunluk bağıntısı (x2 = bc − mn) bu teoremin trigonometrik uzantısıdır.
Adım adım ispatı takip ederken paralel inşanın neden ikizkenar üçgen verdiğine dikkat etmek, dış açıortay teoremi ispatıyla birlikte okunduğunda açıortay oran sisteminin simetrisini görmenizi sağlar.
cb = mn bağıntısı, TYT–AYT geometrinin en pratik oran formüllerinden biridir. ÖSYM'de açıortay ayak noktası ve kenar bölme sorularında doğrudan uygulanır. İspatın paralel doğru ile ikizkenar üçgen inşası, benzerlik tabanlı ispatların model örneğidir. Dış açıortay teoremi bc = \frac{n}{m+n} ile birlikte okunduğunda açıortay oran sisteminin tamamı görülür. Sınavda tam ispat yazarken paralel yardımcı doğrunun neden ikizkenar AKC üçgeni verdiğini açıkça belirtmek ve benzerlik kurulumunu adım adım göstermek tam puan için gereklidir.