Yamukta Köşegenler Arası Orta Taban Parçası
ABCD yamuğunda [EF] orta taban; K = [BD] ∩ [EF], L = [AC] ∩ [EF], |AD| = a, |BC| = b iken |KL| = b - a2 bağıntısının benzerlik ile ispatı.
Teorem
ABCD bir yamuk, [EF] orta taban, |AD| = a, |BC| = b ve K = [BD] ∩ [EF], L = [AC] ∩ [EF] ise |KL| = b - a2 dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Tales teoremiyle [AD] // [EF] // [BC] alınır; △AEL ~ △ABC ile |EL| = b2, △BEK ~ △BAD ile |EK| = a2 bulunup |KL| = |EL| − |EK| yazılır.- 1Veri
E ve F, [AB] ile [DC]'nin orta noktaları; K = [BD] ∩ [EF], L = [AC] ∩ [EF] olsun
Veri.
- 2Çıkarım
|AE||EB| = |DF||FC| olduğundan [AD] // [EF] // [BC] (Tales)
E ve F orta nokta; eşit oranlar paralellik verir.
- 3Çıkarım
△AEL ~ △ABC ve △BEK ~ △BAD
[AD] // [EF] // [BC]; A.A. benzerlik.
- 4Çıkarım
△AEL ~ △ABC ⇒ |AE||AB| = |EL||BC| ⇒ 12 = |EL|b ⇒ |EL| = b2
E orta nokta; benzerlik oranı.
- 5Çıkarım
△BEK ~ △BAD ⇒ |BE||BA| = |EK||AD| ⇒ 12 = |EK|a ⇒ |EK| = a2
E orta nokta; benzerlik oranı.
- 6Sonuç
|KL| = |EL| - |EK| = b2 - a2 = b - a2
E'den K'ya |EK| = a2, E'den L'ye |EL| = b2; b > a olduğunda K, L arasında |KL| = |EL| − |EK|.
Sonuç ∎
Yamukta köşegenler arası orta taban parçası: |KL| = b - a2 elde edilir. ∎Yamukta Köşegenler Arası Orta Taban Parçası Hakkında
Yamukta köşegenler arası orta taban parçası teoremi, |AD| = a, |BC| = b iken |KL| = b - a2 olduğunu belirtir; K ve L köşegen–orta taban kesişimleridir. TYT–AYT geometride yamuk köşegen sorularının ileri sonuçlarından biridir. Orta taban toplamı a+b2 ile farkı b-a2 arasındaki ilişkiyi bilmek yamuk sorularında sistematik düşünmeyi sağlar.
İspat, Tales teoremiyle [AD] // [EF] // [BC] alınır; △AEL ~ △ABC ile |EL| = b2, △BEK ~ △BAD ile |EK| = a2; fark |KL| = b - a2 elde edilir. Yamuk orta taban ispatını önceden bilmek faydalıdır. İki benzerlikten gelen parça uzunluklarının çıkarılması ispatın anahtar adımıdır.
ÖSYM'de yamuk köşegen ve orta taban sorularında bu bağıntı kullanılır. Adım adım ispatı takip ederken toplam ile fark arasındaki ilişkiye dikkat etmek, yamuk paralel segment sorularında doğru bağıntıyı kurmanızı sağlar. AYT geometride yamuk ve harmonik ortalama bağlantıları da bu yapıyla ilişkilidir.
|KL| = b - a2 formülü, TYT–AYT'de yamuk köşegen sorularının ileri aracıdır. Orta taban toplamı a+b2 ile farkı b-a2 arasındaki ilişkiyi bilmek yamuk sorularında sistematik düşünmeyi sağlar. |KL|=b-a2 fark formülü, orta taban toplam formülüyle birlikte yamuk köşegen sisteminin tam resmini verir; TYT sorularında her iki formülü de bilmek faydalıdır.