Yamukta Orta Taban Uzunluğu
ABCD yamuğunda [EF] orta taban, |AD| = a ve |BC| = b iken |EF| = a + b2 bağıntısının Tales teoremi ve benzerlik ile ispatı.
Teorem
ABCD bir yamuk, [EF] orta taban, |AD| = a, |BC| = b ise |EF| = a + b2 dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[AC] köşegeni çizilir; Tales teoremiyle [AD] // [EF] // [BC] alınır; △AEL ~ △ABC ve △CFL ~ △CDA benzerlikleriyle |EL| = b2, |FL| = a2 bulunur.- 1Yapı
[AC] köşegenini çizelim; E ve F, [AB] ile [DC]'nin orta noktaları olsun
Veri; L = [AC] ∩ [EF].
- 2Çıkarım
|AE||EB| = |DF||FC| olduğundan [AD] // [EF] // [BC] (Tales)
E ve F orta nokta; eşit oranlar paralellik verir.
- 3Çıkarım
△AEL ~ △ABC
[AD] // [EF] // [BC]; A.A. benzerlik.
- 4Çıkarım
△AEL ~ △ABC ⇒ |AE||AB| = |EL||BC| ⇒ 12 = |EL|b ⇒ |EL| = b2
E orta nokta olduğundan |AE||AB| = 12; benzerlik oranı.
- 5Çıkarım
△CFL ~ △CDA
[AD] // [EF] // [BC]; A.A. benzerlik.
- 6Çıkarım
△CFL ~ △CDA ⇒ |CF||CD| = |FL||DA| ⇒ 12 = |FL|a ⇒ |FL| = a2
F orta nokta olduğundan |CF||CD| = 12; benzerlik oranı.
- 7Sonuç
|EF| = |EL| + |FL| = a2 + b2 = a + b2
L, [AC] ile [EF]'nin kesişim noktası; adım 4 ve 6 birleştirilir.
Sonuç ∎
Yamuk orta taban bağıntısı: |EF| = a + b2 elde edilir. ∎Yamukta Orta Taban Uzunluğu Hakkında
Yamukta orta taban uzunluğu teoremi, |AD| = a, |BC| = b iken orta taban |EF| = a + b2 olduğunu belirtir. TYT geometrinin temel yamuk sonuçlarından biridir; ÖSYM'de yamuk orta taban, alan ve benzerlik sorularında doğrudan kullanılır. Orta tabanın aritmetik ortalama olması, yamuk simetrisinin uzunluk dilinde ifadesidir.
İspat, [AC] köşegeni çizilir; Tales teoremiyle [AD] // [EF] // [BC] alınır; △AEL ~ △ABC ve △CFL ~ △CDA benzerlikleriyle |EL| = b2, |FL| = a2 bulunur. Benzerlik ön koşuldur. Tales benzerliği kurulumu, yamuk köşegenler arası orta taban ispatıyla ortak teknik paylaşır.
Yamuk alan formülü ispatının temel adımıdır. Adım adım kanıtı takip ederken orta tabanın neden aritmetik ortalama olduğuna dikkat etmek, yamuk paralel segment oranı ispatındaki lineer interpolasyon fikrini anlamanıza yardımcı olur. AYT geometride yamuk ve integral arasındaki bağlantı da bu ortalama yapısına dayanır.
|EF| = a + b2 formülü, TYT'de yamuk sorularının en temel sonucudur. ÖSYM'de yamuk orta taban uzunluğu doğrudan aritmetik ortalama olarak yazılır. Yamuk alan formülü ispatının temel adımıdır. Orta taban teoremi, yamuk alan formülünün türetiminde kritik adımdır; Tales benzerliği ile |EL|=b2 ve |FL|=a2 bulunup toplanır. Tales benzerliği ispatın temelidir; |EL|=b2 ve |FL|=a2 bulunup toplanınca a+b2 elde edilir. Yamuk sorularında orta taban her zaman tabanların aritmetik ortalamasıdır.