İç Açıortay Uzunluk Bağıntısı
Bir üçgende iç açıortay uzunluğunun x² = bc − mn bağıntısıyla cosinüs teoremi ve iç açıortay teoremi kullanılarak ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen, [AN] iç açıortay, |AB| = c, |AC| = b, |BN| = m, |NC| = n ve |AN| = x olmak üzere x² = bc − mn dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
ABN ve ANC üçgenlerinde cosinüs teoremi uygulanıp cosα eşitlenir; cb=m(n) iç açıortay teoremi ile sadeleştirilerek x² = bc − mn elde edilir.- 1Veri
ABC bir üçgen, [AN] iç açıortay, |AB| = c, |AC| = b, |BN| = m, |NC| = n ve |AN| = x olsun.
- 2Veri
m(BÂN) = m(CÂN) = α
[AN] iç açıortay olduğundan A köşesindeki açı ikiye eş bölünür.
- 3Çıkarım
m² = c² + x² − 2·c·x·cosα
ABN üçgeninde cosinüs teoremi (α açısı A noktasında).
- 4Çıkarım
cosα = m² − c² − x²−2·c·x
Adım 3'ten cosα çözülür — (1).
- 5Çıkarım
n² = b² + x² − 2·b·x·cosα
ANC üçgeninde cosinüs teoremi (α açısı A noktasında).
- 6Çıkarım
cosα = n² − b² − x²−2·b·x
Adım 5'ten cosα çözülür — (2).
- 7Çıkarım
m² − c² − x²c = n² − b² − x²b
(1) ve (2) eşitlenip −2·x sadeleştirilir.
- 8Çıkarım
x²(b − c) = bc(b − c) − (c·n² − b·m²)
Adım 7 çapraz çarpım ve x² terimleri bir araya toplanır.
- 9Çıkarım
x²(b − c) = bc(b − c) − m·n(b − c)
c·n² − b·m² = m·nc·nm − b·mn yazılır; cb=m(n) iç açıortay teoreminden c·nm = b ve b·mn = c elde edilir.
- 10Sonuç
x² = bc − mn
b ≠ c için (b − c) ile bölünür; b = c özel durumunda da aynı sonuç doğrulanır.
Sonuç ∎
İç açıortay uzunluk bağıntısı: x² = bc − mn dir. ∎İç Açıortay Uzunluk Bağıntısı Hakkında
İç açıortay uzunluk bağıntısı, [AN] iç açıortay, |AN| = x iken x2 = bc − mn formülünü verir. TYT–AYT geometride açıortay uzunluğu hesaplama sorularının ileri formülüdür.
İspat, ABN ve ANC üçgenlerinde cosinüs teoremi uygulanıp cos α eşitlenir; cb = mn iç açıortay teoremi ile birleştirilir. Cosinüs teoremi ve iç açıortay teoremi ön koşullardır. ÖSYM'de açıortay uzunluğu verildiğinde kenar bulma sorularında bu bağıntı kullanılır.
Adım adım ispatı takip ederken cos α'nın neden iki üçgende eşit olduğuna dikkat etmek, dış açıortay uzunluk bağıntısı ispatında aynı tekniği uygulamanıza katkı sağlar.
x2 = bc − mn formülü, TYT–AYT'de iç açıortay uzunluğu hesaplama sorularının ileri aracıdır. Cos α eşitlemesi tekniği, cosinüs teoremi ispatlarında da karşınıza çıkar. ÖSYM'de |AN| = x verildiğinde kenar uzunlukları arasındaki bağıntıyı kurmak için bu formül kullanılır. İç açıortay teoremi (cb = mn) ispatını önceden bilmek zorunludur. Sınavda x2 = bc−mn formülünü uygularken m ve n parçalarının B ve C arasındaki doğru parçaları olduğunu şekilden doğrulamak işaret hatasını önler.