Cosinüs Teoremi
Bir üçgende bir kenarın karesinin, diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu kenarların iki katı ile aralarındaki açının kosinüsü çarpımının çıkarılmasıyla eşit olduğunun ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen, m(BÂC) = α, |AB| = c, |AC| = b ve |BC| = a olmak üzere a² = b² + c² - 2bc·cosα dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
α < 90° ve α > 90° durumlarında yardımcı dik üçgen kurup trigonometrik oranlarla |BH| veya |CH| bulunur; CBH dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanır.- 1Veri
ABC bir üçgen, m(BÂC) = α, |AB| = c, |AC| = b ve |BC| = a olsun.
- 2Veri
α < 90° olsun.
Birinci durum: A köşesindeki açı dar.
- 3Yapı
Birbirine dik olacak şekilde [BH] ve [CH] doğru parçaları çizilir (A, B, H noktaları doğrusal).
Yardımcı dik üçgen inşası
- 4Çıkarım
sinα = |CH|b ve cosα = |AH|b
AHC dik üçgeninde trigonometrik oranlar.
- 5Çıkarım
|CH| = b·sinα, |AH| = b·cosα ve |BH| = |AH| - |AB| = b·cosα - c
Adım 4'ten |CH| ve |AH|; A, B, H doğrusal olduğundan |BH| = |AH| - |AB|.
- 6Çıkarım
a² = (b·sinα)² + (b·cosα - c)²
CBH dik üçgeninde Pisagor bağıntısı.
- 7Çıkarım
a² = b² + c² - 2bc·cosα
Adım 6 açılıp sin2α + cos2α = 1 özdeşliği kullanılarak sadeleştirilir — (1).
- 8Veri
α > 90° olsun.
İkinci durum: A köşesindeki açı geniş.
- 9Yapı
Birbirine dik olacak şekilde [AH] ve [BH] doğru parçaları çizilir (C, A, H noktaları doğrusal).
Yardımcı dik üçgen inşası
- 10Çıkarım
sinα = |BH|c, cosα = −|AH|c
AHB dik üçgeninde sin180° - α = sinα ve cos180° - α = -cosα.
- 11Çıkarım
|BH| = c·sinα, |AH| = -c·cosα ve |CH| = |CA| + |AH| = b - c·cosα
Adım 10'dan |BH| ve |AH|; C, A, H doğrusal olduğundan |CH| = |CA| + |AH|.
- 12Çıkarım
a² = (c·sinα)² + (b - c·cosα)² = b² + c² - 2bc·cosα
CBH dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanıp (1) ile aynı sonuç elde edilir.
- 13Sonuç
a² = b² + c² - 2bc·cosα
Her iki durumda da aynı bağıntı elde edildiğinden teorem kanıtlanmış olur.
Sonuç ∎
Cosinüs teoremi: a² = b² + c² - 2bc·cosα dir. ∎Cosinüs Teoremi Hakkında
Cosinüs teoremi, ABC üçgeninde m(BÂC) = α iken a2 = b2 + c2 − 2bc·cos α bağıntısını verir. TYT–AYT geometrinin en genel kenar–açı ilişkisidir; ÖSYM'de üçgen kenarı, açısı ve alanı sorularının büyük bölümünde Pisagor'un genellenmiş hali olarak kullanılır.
İspat, α < 90° ve α > 90° durumlarında yardımcı dik üçgen kurup trigonometrik oranlarla |BH| veya |CH| bulur. Pisagor bağıntısı cosinüs teoreminin α = 90° özel durumudur. AYT geometride Heron formülü, iç/dış açıortay uzunluk bağıntıları ve Stewart teoremi cosinüs teoreminin uygulamalarıdır.
Adım adım ispatı takip ederken iki durumun neden ayrı ele alındığına dikkat etmek, sinüs teoremi ispatıyla birlikte okunduğunda trigonometrik üçgen araç setinin tamamını görmenizi sağlar.
Cosinüs teoremi, TYT–AYT geometrinin en genel kenar–açı aracıdır; Pisagor'un α ≠ 90° genellenmesidir. ÖSYM'de üçgen kenarı, açısı ve alanı sorularının büyük bölümünde cosinüs teoremi kullanılır. İspatın iki durum (dar ve geniş açı) ayrımı, trigonometrik ispat yazma disiplinini pekiştirir. Sinüs teoremi ile birlikte okunduğunda üçgen trigonometrisinin tam araç seti oluşur.