Dış Açıortay Uzunluk Bağıntısı
Bir üçgende dış açıortay uzunluğunun x² = n(m+n) − bc bağıntısıyla cosinüs teoremi ve dış açıortay teoremi kullanılarak ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen, [AN] dış açıortay, |AB| = c, |AC| = b, |BC| = m, |CN| = n ve |AN| = x olmak üzere x² = n(m+n) − bc dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
ACN ve ABN üçgenlerinde cosinüs teoremi uygulanıp cosα eşitlenir; bc=n(m+n) dış açıortay teoremi ile sadeleştirilerek x² = n(m+n) − bc elde edilir.- 1Veri
ABC bir üçgen, [AN] dış açıortay, N ∈ [BC]' (C ötesi), |AB| = c, |AC| = b, |BC| = m, |CN| = n ve |AN| = x olsun.
Veri — N, dış açıortayın BC doğrusunu C yönünde kestiği noktadır.
- 2Veri
L, [BA]'nın A yönündeki uzantısı üzerinde bir noktadır; m(CÂN) = m(LÂN) = α
[AN] dış açıortay olduğundan A köşesindeki dış açı ikiye eş bölünür.
- 3Çıkarım
n² = b² + x² − 2·b·x·cosα
ACN üçgeninde cosinüs teoremi (α açısı A noktasında).
- 4Çıkarım
cosα = n² − b² − x²−2·b·x
Adım 3'ten cosα çözülür — (1).
- 5Çıkarım
(m+n)² = c² + x² − 2·c·x·cos180° − α
ABN üçgeninde cosinüs teoremi; m(BÂN) = 180° − α.
- 6Çıkarım
cosα = (m+n)² − c² − x²2·c·x
cos180° − α = −cosα kullanılarak — (2).
- 7Çıkarım
n² − b² − x²b = (m+n)² − c² − x²c
(1) ve (2) eşitlenip −2·x sadeleştirilir.
- 8Çıkarım
x²(b + c) = n(m+n)[cnm+n + b(m+n)n] − bc(b + c)
Adım 7 çapraz çarpım, x² terimleri toplanır ve sağ taraf çarpanlara ayrılır.
- 9Çıkarım
cnm+n = b ve b(m+n)n = c
Dış açıortay teoremi: bc=n(m+n).
- 10Sonuç
x² = n(m+n) − bc
Adım 8'deki ifadeye Adım 9 yerine yazılır; (b + c) ile bölünür.
Sonuç ∎
Dış açıortay uzunluk bağıntısı: x² = n(m+n) − bc dir. ∎Dış Açıortay Uzunluk Bağıntısı Hakkında
Dış açıortay uzunluk bağıntısı, [AN] dış açıortay, |AN| = x iken x2 = n(m+n) − bc formülünü verir. TYT–AYT geometride dış açıortay uzunluğu sorularının ileri formülüdür; iç açıortay uzunluk bağıntısıyla simetrik yapıdadır.
İspat, ACN ve ABN üçgenlerinde cosinüs teoremi uygulanıp cos α eşitlenir; bc = nm+n dış açıortay teoremi ile birleştirilir. Cosinüs teoremi ve dış açıortay teoremi ön koşullardır.
ÖSYM'de dış açıortay uzunluğu hesaplama sorularında bu formül pratik bir araçtır. Adım adım kanıtı takip ederken iç açıortay uzunluk ispatıyla karşılaştırmak, iki formül arasındaki işaret farkını anlamanıza yardımcı olur.
x2 = n(m+n) − bc formülü, dış açıortay uzunluğu sorularında iç açıortay uzunluk bağıntısının simetrik karşılığıdır. AYT'de cosinüs teoremi ile açıortay uzunluk formüllerinin türetiminde aynı cos α eşitlemesi tekniği kullanılır. ÖSYM'de dış açıortay uzunluğu verildiğinde kenar bulma sorularında devreye girer. İç ve dış açıortay uzunluk formüllerini yan yana yazarak işaret farkını görmek, AYT sorularında doğru formülü seçmenize yardımcı olur. Dış açıortay uzunluğu sorularında n parçasının uzantı üzerinde olduğunu unutmamak formüldeki (m+n) terimini doğru yorumlamanın anahtarıdır.