Dış Açıortay Teoremi
Bir üçgende dış açıortayın BC doğrusunu C ötesinde kestiği N noktası için bc=n(m+n) bağıntısının paralel doğru ve benzerlik ile ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen, [AN] dış açıortay, |BC| = m, |CN| = n, |AB| = c ve |AC| = b olmak üzere bc=n(m+n) dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[AB] kenarına paralel [KC] ile ikizkenar AKC üçgeni oluşturulur; NKC ~ NAB benzerliğinden bc=n(m+n) elde edilir.- 1Veri
ABC bir üçgen, [AN] dış açıortay, N ∈ [BC]' (C ötesi), |BC| = m, |CN| = n, |AB| = c ve |AC| = b olsun.
Veri — N, dış açıortayın BC doğrusunu C yönünde kestiği noktadır.
- 2Veri
L, [BA]'nın A yönündeki uzantısı üzerinde bir noktadır; m(CÂN) = m(LÂN) = α
[AN] dış açıortay olduğundan A köşesindeki dış açı ikiye eş bölünür.
- 3Yapı
[AB] kenarına paralel [KC] (K ∈ [AN]) çizilir.
Yardımcı paralel doğru inşası
- 4Çıkarım
m(LÂK) = m(ÂKC) = α
[KC] ∥ [AB] olduğundan iç ters açılar eşittir.
- 5Çıkarım
ACK ikizkenar üçgendir ve |KC| = |CA| = b
L, A, C doğrusal olduğundan m(CÂK) = m(LÂK) = m(ÂKC) = α; α açılarına karşılık gelen kenarlar eşittir.
- 6Çıkarım
NKC ~ NAB
[KC] ∥ [AB] olduğundan m(NKC) = m(NAB) ve m(NCK) = m(NBA); A.A. benzerlik.
- 7Çıkarım
|KC||AB| = |NC||NB|
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir.
- 8Sonuç
bc=n(m+n)
|KC| = b, |AB| = c, |NC| = n ve |NB| = |BC| + |CN| = m + n yerine yazılır.
Sonuç ∎
Dış açıortay teoremi: bc=n(m+n) dir. ∎Dış Açıortay Teoremi Hakkında
Dış açıortay teoremi, ABC üçgeninde [AN] dış açıortay, |BC| = m, |CN| = n iken bc = nm+n bağıntısını verir. TYT–AYT geometride dış açıortay oranı sorularının temelidir; iç açıortay teoremiyle birlikte açıortay sisteminin tam resmini oluşturur.
İspat, [AB] kenarına paralel [KC] ile ikizkenar AKC üçgeni oluşturulur; NKC ~ NAB benzerliğinden oran türetilir. İç açıortay teoremi ispatıyla aynı paralel–benzerlik tekniğini kullanır. ÖSYM'de dış açıortay ayak noktası ve kenar oranı sorularında doğrudan devreye girer.
Adım adım kanıtı takip ederken dış açıortayın BC doğrusunu nasıl kestiğine dikkat etmek, dış açıortay uzunluk bağıntısı ispatının ön hazırlığı niteliğindedir.
bc = nm+n formülü, dış açıortay sorularında kenar oranını hızlıca bulmanızı sağlar. TYT'de dış açıortay ayak noktası BC doğrusunun uzantısında olduğundan işaret ve dizilim dikkatle takip edilmelidir. İç açıortay teoremi ispatıyla aynı paralel–benzerlik tekniğini kullanır. AYT'de dış açıortay uzunluk bağıntısı bu oran teoreminin trigonometrik uzantısıdır. Dış açıortayın BC doğrusunu dışarıda kestiğini unutmamak, oran formülünde m ve n parçalarını doğru tanımlamanın anahtarıdır; işaret hataları bu noktada yapılır.