2α ve α Açılı Üçgende Kenar Bağıntısı
m(BÂC) = 2α ve m(ABC) = α olan ABC üçgeninde |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c iken a2 = b2 + bc bağıntısının sinüs ve cosinüs teoremleri ile ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen; |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c, m(BÂC) = 2α, m(ABC) = α ise a2 = b2 + bc dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Sinüs teoremi ile cosα bulunur; cosinüs teoremine yerine konup cebirsel çarpanlara ayırma ile a2 = b2 + bc elde edilir.- 1Veri
ABC bir üçgen; |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c, m(BÂC) = 2α, m(ABC) = α olsun.
Veri ve tanımlar
- 2Çıkarım
bsinα = asin2α
Sinüs teoremi — A ve B köşelerindeki açılar ile karşı kenarlar.
- 3Çıkarım
sin2α = 2·sinα·cosα ⇒ bsinα = a2·sinα·cosα ⇒ cosα = a2b (1)
İkili açı sinüs özdeşliği kullanılır; sinα sadeleştirilir.
- 4Çıkarım
b2 = a2 + c2 - 2·a·c·cosα (2)
Cosinüs teoremi — B köşesindeki α açısı ile kenarlar a, b, c.
- 5Çıkarım
b2 = a2 + c2 - 2·a·c·(a2b) = a2 + c2 - a2cb
(1) numaralı cosα değeri (2) denkleminde yerine yazılır.
- 6Çıkarım
b2 - c2 = a2(1 - cb) ⇒ (b - c)(b + c) = a2(b - cb)
Denklem düzenlenir; sol taraf fark iki kare, sağ taraf ortak çarpan alınır.
- 7Sonuç
a2 = b2 + bc
b ≠ c için her iki taraf (b − c) ile sadeleştirilir; b + c = a2/b elde edilir.
Sonuç ∎
2α ve α açılı üçgende kenar bağıntısı: a2 = b2 + bc elde edilir. ∎2α ve α Açılı Üçgende Kenar Bağıntısı Hakkında
2α ve α açılı üçgende kenar bağıntısı, m(BÂC) = 2α ve m(ABC) = m(BCA) = α iken a2 = b2 + bc formülünü verir. TYT–AYT geometride özel açılı üçgen sorularının ileri sonuçlarından biridir.
İspat, sinüs teoremi ile cos α bulunur; cosinüs teoremine yerine konup cebirsel çarpanlara ayırma ile a2 = b2 + bc elde edilir. Sinüs ve cosinüs teoremleri ön koşuldur. ÖSYM'de 2α–α–α yapısı taşıyan üçgenlerde kenar ilişkisi sorularında bu bağıntı kullanılır.
Adım adım ispatı takip ederken trigonometrik adımların cebirsel sonuca nasıl dönüştüğüne dikkat etmek, benzer "açı cinsinden kenar" ispatlarını anlamanıza yardımcı olur.
a2 = b2 + bc formülü, 2α–α–α açılı üçgenlerde kenar ilişkisini verir. AYT'de sinüs ve cosinüs teoremlerinin birlikte kullanıldığı ileri sorularda bu bağıntı devreye girer. İspatın cebirsel çarpanlara ayırma adımı, cosinüs teoremi uygulamalarında sık kullanılan bir tekniktir. 2α–α–α yapısı ÖSYM sorularında nadir görülse de, sinüs ve cosinüs teoremlerinin birlikte kullanıldığı AYT sorularında bu bağıntı pratik bir kısayol sunar.