Sinüs Teoremi
Bir üçgende kenar uzunlukları ile karşı açıların sinüsleri arasında a/sinα = b/sinβ = c/sinθ = 2R bağıntısının alan formülleri ile ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen; çevrel çember yarıçapı R, m(BÂC) = α, m(ABC) = β, m(BCA) = θ, |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c ise asinα = bsinβ = csinθ = 2R dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Üçgen alanı dört farklı biçimde yazılır: sinüs alan formülleri ve çevrel çember alan formülü; eşitlikler birleştirilerek sinüs teoremi elde edilir.- 1Veri
ABC bir üçgen; çevrel çember yarıçapı R, m(BÂC) = α, m(ABC) = β, m(BCA) = θ, |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c olsun.
Veri ve tanımlar
- 2Çıkarım
A(ABC) = 12·b·c·sinα (1)
Sinüs alan formülü — A köşesindeki α açısı ile kenarlar b ve c.
- 3Çıkarım
A(ABC) = 12·a·c·sinβ (2)
Sinüs alan formülü — B köşesindeki β açısı ile kenarlar a ve c.
- 4Çıkarım
A(ABC) = 12·a·b·sinθ (3)
Sinüs alan formülü — C köşesindeki θ açısı ile kenarlar a ve b.
- 5Çıkarım
A(ABC) = a·b·c4R (4)
Çevrel çember alan formülü.
- 6Çıkarım
12·b·c·sinα = 12·a·c·sinβ ⇒ asinα = bsinβ (i)
(1) ve (2) eşitlenir; 12·c sadeleştirilir.
- 7Çıkarım
12·a·c·sinβ = 12·a·b·sinθ ⇒ bsinβ = csinθ (ii)
(2) ve (3) eşitlenir; 12·a sadeleştirilir.
- 8Çıkarım
12·a·b·sinθ = a·b·c4R ⇒ csinθ = 2R (iii)
(3) ve (4) eşitlenir; 12·a·b sadeleştirilir.
- 9Sonuç
asinα = bsinβ = csinθ = 2R
(i), (ii) ve (iii) birleştirilir.
Sonuç ∎
Sinüs teoremi: asinα = bsinβ = csinθ = 2R elde edilir. ∎Sinüs Teoremi Hakkında
Sinüs teoremi, ABC üçgeninde a\sin \alpha = b\sin \beta = c\sin \theta = 2R bağıntısını verir; R çevrel çember yarıçapıdır. TYT–AYT geometrinin temel trigonometrik aracıdır; ÖSYM'de üçgen açı–kenar, çevrel çember yarıçapı ve alan sorularında doğrudan uygulanır.
İspat, üçgen alanını dört farklı biçimde yazar: sinüs alan formülleri ve çevrel çember alan formülü eşitlenir. Sinüs alan formülü ve çevrel çember alan formülü ön koşuldur. AYT geometride 2α–α–α kenar bağıntısı ve Heron formülü sinüs teoremine dayanır.
Adım adım kanıtı takip ederken alan eşitliklerinin nasıl oran formülüne dönüştüğüne dikkat etmek, cosinüs teoremi ile birlikte okunduğunda üçgen trigonometrisinin bütünlüğünü kavramanıza yardımcı olur.
a\sin \alpha = 2R bağıntısı, TYT–AYT'de çevrel çember yarıçapı ve üçgen kenar–açı sorularının temelidir. ÖSYM'de R verildiğinde kenar veya açı bulma sorularında sinüs teoremi doğrudan uygulanır. İspatın alan eşitlemesi tekniği, Heron formülü türetiminde de kullanılır. Cosinüs teoremi ile birlikte "TYT trigonometri geometri" sorularının omurgasını oluşturur. 2R ifadesi çevrel çember yarıçapı sorularında doğrudan kullanılır; sinüs teoremi ispatını okuduktan sonra a\sin \alpha = 2R bağıntısını ezberlemek TYT–AYT trigonometri sorularını hızlandırır.