Paralelkenar Teoremi
Paralelkenar ABCD'de köşegen uzunlukları e ve f, komşu kenarlar a ve b iken e² + f² = 2(a² + b²) bağıntısının cosinüs teoremi ile ispatı.
Teorem
ABCD bir paralelkenar; |AB| = a, |AD| = b, |AC| = e, |BD| = f ise e2 + f2 = 2(a2 + b2) dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
m(BAD) = α ve m(ADC) = 180° − α alınır; BAD ve ADC üçgenlerinde cosinüs teoremi uygulanıp cos180° − α = −cosα ile iki eşitlik toplanır.- 1Veri
m(BAD) = α olsun; ABCD paralelkenar olduğundan m(ADC) = 180° − α
Paralelkenarda komşu açılar bütünler; m(BAD) + m(ADC) = 180°.
- 2Çıkarım
f2 = a2 + b2 - 2·a·b·cosα (1)
BAD üçgeninde |AB| = a, |AD| = b, m(BAD) = α ve |BD| = f; cosinüs teoremi.
- 3Çıkarım
e2 = a2 + b2 - 2·a·b·cos180° - α; cos180° - α = -cosα ⇒ e2 = a2 + b2 + 2·a·b·cosα (2)
ADC üçgeninde |AD| = b, |DC| = a, m(ADC) = 180° − α ve |AC| = e; cosinüs teoremi.
- 4Sonuç
(1) + (2) ⇒ e2 + f2 = 2(a2 + b2)
İki eşitlik toplanır; cosα terimleri sadeleşir.
Sonuç ∎
Paralelkenar teoremi: e2 + f2 = 2(a2 + b2) elde edilir. ∎Paralelkenar Teoremi Hakkında
Paralelkenar teoremi, köşegen uzunlukları e ve f, kenar uzunlukları a ve b iken e2 + f2 = 2(a2 + b2) bağıntısını verir. TYT–AYT geometride paralelkenar köşegen sorularının ileri formülüdür; ÖSYM'de köşegen uzunlukları verildiğinde kenar bulma sorularında kullanılır. Kenarortay uzunluk bağıntısının dörtgen versiyonu olarak da hatırlanabilir.
İspat, m(BAD) = α ve m(ADC) = 180° − α alınır; BAD ve ADC üçgenlerinde cosinüs teoremi uygulanıp cos180° − α = −cos α ile sadeleştirilir. Cosinüs teoremi ön koşuldur. İki cosinüs eşitliğinin toplanması, cos α terimlerinin sadeleşmesi ispatın anahtar adımıdır.
Adım adım ispatı takip ederken iki cosinüs eşitliğinin nasıl toplandığına dikkat etmek, kenarortay uzunluk bağıntısı ispatındaki benzer cebirsel tekniği tanımanıza katkı sağlar. AYT geometride koordinat düzleminde paralelkenar köşegenleri sorularında da bu formül pratik bir kontrol aracıdır.
e2 + f2 = 2(a2 + b2) formülü, TYT–AYT'de paralelkenar köşegen sorularının ileri aracıdır. Cosinüs teoremi ispatının dörtgen versiyonudur. ÖSYM'de köşegen uzunlukları verildiğinde kenar bulma sorularında kullanılır. Paralelkenar teoremi, köşegenlerin kenar kareleri toplamıyla ilişkisini verir; cosinüs teoremi ispatındaki cos180°−α = −cos α adımı bu ispatın da kritik noktasıdır. e2+f2=2(a2+b2) formülü, köşegen uzunlukları bilindiğinde kenar bulma sorularında cosinüs teoremine alternatif olarak kullanılabilir.