İkizkenar Üçgende Tabana Ait Dikmelerin Toplamı
İkizkenar ABC üçgeninde taban [BC] üzerindeki F noktasından yan kenarlara indirilen dikmeler ile B'den [AC]'ye indirilen yükseklik arasında |EF| + |FD| = |BH| bağıntısının iki farklı yöntemle ispatı.
Teorem
ABC bir ikizkenar üçgen; |AB| = |AC|, [BC] üzerinde F, [BH] ⊥ [AC], [FD] ⊥ [AC], [EF] ⊥ [AB] ise |EF| + |FD| = |BH| dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspatlar
İspat 1
İspat Yöntemi
[AC]'ye paralel [MF] yardımcı doğrusu çizilerek HNFD dikdörtgeni ve MBF ikizkenar üçgeni elde edilir; segment toplamları birleştirilir.- 1Veri
ABC bir ikizkenar üçgen; |AB| = |AC|, F ∈ [BC], [BH] ⊥ [AC], [FD] ⊥ [AC], [EF] ⊥ [AB] olsun.
Veri ve tanımlar
- 2Yapı
[AC]'ye paralel bir [MF] doğru parçası çizelim.
Yardımcı yapı — M ∈ [AB], F ∈ [BC].
- 3Çıkarım
[MF] ⊥ [BH] olur.
[MF] // [AC] ve [BH] ⊥ [AC] olduğundan [MF] ⊥ [BH] olur.
- 4Çıkarım
MBF ikizkenar üçgendir; |BM| = |MF|.
Paralellikten m(BFM) = m(BCA) ve m(FBM) = m(ABC); ikizkenar ABC'de m(ABC) = m(BCA) olduğundan m(BFM) = m(FBM).
- 5Çıkarım
HNFD bir dikdörtgendir; |HN| = |FD|.
HNFD dörtgeninde tüm açılar diktir; karşılıklı kenarlar eşit olduğundan |HN| = |FD|.
- 6Çıkarım
MBF ikizkenar üçgeninde eşit kenarlara indirilen yükseklikler eşit olduğundan |EF| = |BN|.
EF ⊥ [BM] ve BN ⊥ [MF]; |BM| = |MF| olduğundan bu yükseklikler eşittir.
- 7Çıkarım
|BN| + |HN| = |EF| + |FD|
Adım 5 ve 6'dan |HN| = |FD|, |BN| = |EF|.
- 8Sonuç
|EF| + |FD| = |BH|
N, [BH] üzerinde olduğundan |BN| + |HN| = |BH|.
Sonuç ∎
İkizkenar üçgende tabana ait dikmelerin toplamı: |EF| + |FD| = |BH| elde edilir. ∎İspat 2
İspat Yöntemi
A ile F birleştirilerek ABC alanı ABF ve ACF alt üçgenlerinin alanları toplamına yazılır; |AB| = |AC| ile sadeleştirilir.- 1Veri
ABC bir ikizkenar üçgen; |AB| = |AC|, F ∈ [BC], [BH] ⊥ [AC], [FD] ⊥ [AC], [EF] ⊥ [AB] olsun.
Veri ve tanımlar
- 2Yapı
A noktasını F noktasına birleştiren bir [AF] doğru parçası çizelim.
Yardımcı yapı — alan bölme.
- 3Çıkarım
A(ABC) = A(ABF) + A(ACF) yazılabilir.
[AF] doğrusu ABC üçgenini B ve C tarafında olmak üzere ikiye böler.
- 4Çıkarım
A(ABC) = 12|AB|·|EF| + 12|AC|·|FD| (1)
A(ABF) = 12|AB|·|EF| ve A(ACF) = 12|AC|·|FD| taban · yükseklik2.
- 5Çıkarım
A(ABC) = 12|AC|·|BH| (2)
Taban [AC], B köşesinden [AC]'ye indirilen yükseklik [BH] ile alan hesaplanır.
- 6Çıkarım
12|AC|·|BH| = 12|AB|·|EF| + 12|AC|·|FD|
(1) ve (2) denklemleri eşitlenir.
- 7Çıkarım
|AB| = |AC| olduğundan 12|AC|·|BH| = 12|AC|·(|EF| + |FD|)
Her iki tarafta |AB| = |AC| yazılır; sağ tarafta |EF| + |FD| ortak parantezinde toplanır.
- 8Sonuç
|EF| + |FD| = |BH|
Her iki taraftan 12|AC| sadeleştirilir.
Sonuç ∎
Alan yöntemiyle de |EF| + |FD| = |BH| elde edilir. ∎İkizkenar Üçgende Tabana Ait Dikmelerin Toplamı Hakkında
İkizkenar üçgende tabana ait dikmelerin toplamı teoremi, |AB| = |AC| olan ABC üçgeninde |EF| + |FD| = |BH| bağıntısını verir; burada [BH], [FD] ve [EF] taban ve kenarlara indirilen dikmelerdir. TYT–AYT geometride ikizkenar üçgen alan ve yükseklik sorularının ileri uçlarında karşılaşılan özgün bir sonuçtur.
İspat, paralellik ve alan yöntemini birleştirir; ikizkenar simetri, yardımcı paralel doğrular ve alan eşitlikleri adım adım kullanılır. ÖSYM'de ikizkenar üçgende birden fazla yükseklik ve dikme içeren sorularda bu bağıntı pratik bir kontrol aracıdır. İkizkenar taban açıları ve alan formülünü bilmek önemlidir.
Bu teorem, ikizkenar üçgende dikme farkı bağıntısı (ED − DF = HC) ile birlikte okunduğunda ikizkenar simetrinin farklı yüzlerini gösterir. Adım adım ispatı takip ederken hangi paralellikten hangi alan eşitliğinin geldiğini not etmek, benzer alan ispatlarını anlamanıza yardımcı olur.
Bu teorem, ikizkenar simetrinin alan ve yükseklik dilinde ifadesidir. TYT–AYT'de ikizkenar üçgende birden fazla dikme veya yükseklik içeren sorularda |EF| + |FD| = |BH| bağıntısı pratik bir doğrulama aracıdır. İspatın paralellik ve alan yöntemine dayanması, benzer ispatları (eşkenar üçgen Viviani) anlamak için iyi bir örnektir. Sınavda tam ispat yazarken hangi paralellikten hangi eşit dikme uzunluğunun geldiğini adım adım belirtmek gerekir.