Dik Köşegenli Dörtgende Kenar Bağıntısı
Köşegenleri dik olan ABCD dörtgeninde |AB| = c, |AD| = b, |BC| = x, |CD| = y iken c2 + y2 = b2 + x2 bağıntısının Pisagor teoremi ile ispatı.
Teorem
ABCD bir dörtgen; [AC] ⊥ [BD], [AC] ve [BD] köşegen, |AB| = c, |AD| = b, |BC| = x, |CD| = y ise c2 + y2 = b2 + x2 dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Köşegenlerin dik kesişimi dört dik üçgen oluşturur; Pisagor bağıntıları yazılıp (1)+(4)−(2)−(3) işlemi ile sonuç elde edilir.- 1Veri
ABCD bir dörtgen; [AC] ⊥ [BD], K kesişim noktası, |AB| = c, |AD| = b, |BC| = x, |CD| = y olsun. |BK| = m ve |DK| = n kabul edelim.
Veri ve tanımlar
- 2Çıkarım
BKC dik üçgeninde Pisagor teoreminden x2 = m2 + |CK|2 (1)
[AC] ⊥ [BD] olduğundan m(BKC) = 90° dir.
- 3Çıkarım
DKC dik üçgeninde Pisagor teoreminden y2 = n2 + |CK|2 (2)
[AC] ⊥ [BD] olduğundan m(DKC) = 90° dir.
- 4Çıkarım
ABK dik üçgeninde Pisagor teoreminden c2 = m2 + |AK|2 (3)
[AC] ⊥ [BD] olduğundan m(ABK) = 90° dir.
- 5Çıkarım
ADK dik üçgeninde Pisagor teoreminden b2 = n2 + |AK|2 (4)
[AC] ⊥ [BD] olduğundan m(ADK) = 90° dir.
- 6Çıkarım
(1) + (4) - (2) - (3) ⇒ x2 + b2 - y2 - c2 = 0
Dört Pisagor eşitliği birleştirilir; |CK|2, |AK|2 ve m2, n2 terimleri sadeleşir.
- 7Sonuç
c2 + y2 = b2 + x2
Adım 6'daki eşitlik düzenlenir.
Sonuç ∎
Dik köşegenli dörtgende kenar bağıntısı: c2 + y2 = b2 + x2 elde edilir. ∎Dik Köşegenli Dörtgende Kenar Bağıntısı Hakkında
Dik köşegenli dörtgende kenar bağıntısı, [AC] ⊥ [BD] olan ABCD dörtgeninde |AB| = c, |AD| = b, |BC| = x, |CD| = y iken c2 + y2 = b2 + x2 formülünü verir. TYT–AYT geometride dik köşegenli dörtgen sorularının temelidir; ÖSYM'de köşegenleri dik olan dörtgenlerde kenar ilişkisi ve Pisagor kombinasyon sorularında doğrudan uygulanır.
İspat, köşegenlerin dik kesişimiyle oluşan dört dik üçgende Pisagor bağıntısı yazılıp (1)+(4)−(2)−(3) işlemiyle sadeleştirilir. Pisagor bağıntısını bilmek zorunlu ön koşuldur. Dört Pisagor eşitliğinin numaralandırılması, dik yamuk h2 = ab ispatındaki benzer cebirsel tekniği andırır.
AYT geometride bu bağıntı, koordinat düzleminde dik köşegenli dörtgen ve eşkenar dörtgen özel durumlarında da kullanılır. Adım adım ispatı takip ederken |AK|2 ve |CK|2 terimlerinin neden sadeleştiğine dikkat etmek, benzer "dört dik üçgen" ispatlarını kendi başınıza yazabilmenize katkı sağlar. Dikdörtgen iç nokta kare bağıntısıyla birlikte okunduğunda Pisagor tabanlı dörtgen teoremlerinin tutarlılığı ortaya çıkar.
c2 + y2 = b2 + x2 formülü, TYT–AYT'de dik köşegenli dörtgen sorularının temelidir. Dört Pisagor eşitliğini birleştirme tekniği ispatın özüdür. ÖSYM'de dik köşegenli dörtgende kenar ilişkisi sorularında doğrudan uygulanır.