Dikdörtgende İç Noktanın Kare Bağıntısı
Dikdörtgen ABCD içindeki bir P noktası için |AP|2 + |PC|2 = |DP|2 + |PB|2 bağıntısının paralelkenar inşası ve dik köşegenli dörtgen özelliği ile ispatı.
Teorem
ABCD bir dikdörtgen; P dikdörtgenin içinde bir nokta ise |AP|2 + |PC|2 = |DP|2 + |PB|2 dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[DP] ye paralel ve |DP| ye eşit [FC] çizilir; ABFP ve DPFC paralelkenarları ile |AP| = |BF|, |PD| = |FC| yazılır; BFCP dörtgeninde dik köşegen bağıntısı uygulanır.- 1Yapı
[DP] ye paralel ve |DP| ye eşit olacak şekilde [FC] çizilsin; P ile B noktaları F ye birleştirilsin
Yardımcı inşaat; ABFP ve DPFC paralelkenarları oluşturulur.
- 2Çıkarım
ABFP ve DPFC birer paralelkenardır; [PF] ⊥ [BC], |AB| = |PF| = |DC|, |AP| = |BF|, |PD| = |FC|
Paralelkenar ve dikdörtgen özellikleri; [PF] taban [BC] ye dik iner.
- 3Çıkarım
BFCP dörtgeninde [BC] ⊥ [PF] olduğundan köşegenler dik kesişir
[PF] // [AD] // [BC] ye dik; [BC] ile [PF] BFCP nin köşegenleridir.
- 4Çıkarım
|BP|2 + |FC|2 = |BF|2 + |PC|2 (1)
Dik köşegenli dörtgende karşılıklı kenar kareleri bağıntısı (bkz. dortgen-dik-kosegen-kenar-bagintisi).
- 5Sonuç
(1) de |FC| = |PD| ve |BF| = |AP| yazılırsa |AP|2 + |PC|2 = |DP|2 + |PB|2
Adım 2'deki eşit uzunluklar (1) numaralı eşitlikte yerine konur.
Sonuç ∎
Dikdörtgende iç nokta kare bağıntısı: |AP|2 + |PC|2 = |DP|2 + |PB|2 elde edilir. ∎Dikdörtgende İç Noktanın Kare Bağıntısı Hakkında
Dikdörtgende iç noktanın kare bağıntısı, P dikdörtgen içinde iken |AP|2 + |PC|2 = |DP|2 + |PB|2 olduğunu belirtir. TYT–AYT geometride dikdörtgen iç nokta sorularının temelidir; British Flag teoremi olarak da bilinir. ÖSYM'de iç noktadan köşelere uzaklık sorularında doğrudan uygulanır.
İspat, [DP]'ye paralel ve |DP|'ye eşit [FC] çizilir; ABFP ve DPFC paralelkenarları ile |AP| = |BF|, |PD| = |FC| elde edilir; Pisagor uygulanır. Pisagor bağıntısını bilmek ön koşuldur. Paralelkenar inşasının mesafe eşitliklerine dönüşmesi ispatın zarif yapı taşıdır.
Adım adım ispatı takip ederken paralelkenar inşasının mesafe eşitliklerine nasıl dönüştüğüne dikkat etmek, dış nokta versiyonu ispatıyla birlikte okunduğunda teoremin tam kapsamını görmenizi sağlar. AYT koordinat geometride aynı sonucun cebirsel türetimi de mümkündür.
|AP|2 + |PC|2 = |DP|2 + |PB|2 (British Flag teoremi), TYT–AYT'de dikdörtgen iç nokta sorularının temelidir. Paralelkenar inşası ve Pisagor ispatın anahtar adımlarıdır. ÖSYM'de iç nokta mesafe sorularında doğrudan uygulanır. Paralelkenar inşası ispatın yaratıcı adımıdır; |AP|=|BF| eşitliği kurulduktan sonra Pisagor dört nokta için yazılır ve sadeleştirilir. TYT'de iç nokta mesafe sorularında koordinat sistemine geçmeden British Flag teoremi ile cebirsel çözüm yapmak süreyi önemli ölçüde kısaltır.