Dikdörtgende Dış Noktanın Kare Bağıntısı
Dikdörtgen ABCD'nin dışındaki bir P noktası için |AP|2 + |PC|2 = |DP|2 + |PB|2 bağıntısının paralelkenar inşası ve yükseklik üzerindeki nokta teoremi ile ispatı.
Teorem
ABCD bir dikdörtgen; P dikdörtgenin dışında bir nokta ise |AP|2 + |PC|2 = |DP|2 + |PB|2 dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[DP] ye paralel |DP| uzunluğunda [FC] çizilir; ABFP ve DPFC paralelkenarları ile |AP| = |BF|, |PD| = |FC| yazılır; △PBC de F ∈ [PE] için yükseklik bağıntısı uygulanır.- 1Yapı
[DP] ye paralel ve |DP| ye eşit olacak şekilde [FC] çizilsin; P ile B noktaları F ye birleştirilsin
Yardımcı inşaat; ABFP ve DPFC paralelkenarları oluşturulur.
- 2Çıkarım
ABFP ve DPFC birer paralelkenardır; [PF] ⊥ [AD], |AB| = |PF| = |DC|, |AP| = |BF|, |PD| = |FC|
Paralelkenar ve dikdörtgen özellikleri.
- 3Çıkarım
[PF] nin [BC] ile kesiştiği E noktası alınsın; [PE] ⊥ [BC] ve F ∈ [PE]
[PF] // [AD] // [BC] ye dik; E ayak noktası, F yükseklik üzerinde.
- 4Çıkarım
△PBC de F ∈ [PE] olduğundan |BP|2 + |FC|2 = |BF|2 + |PC|2 (1)
Yükseklik üzerindeki nokta bağıntısı (bkz. ucgen-yukseklik-uzerindeki-nokta-bagintisi).
- 5Sonuç
(1) de |FC| = |PD| ve |BF| = |AP| yazılırsa |AP|2 + |PC|2 = |DP|2 + |PB|2
Adım 2'deki eşit uzunluklar (1) numaralı eşitlikte yerine konur.
Sonuç ∎
Dikdörtgende dış nokta kare bağıntısı: |AP|2 + |PC|2 = |DP|2 + |PB|2 elde edilir. ∎Dikdörtgende Dış Noktanın Kare Bağıntısı Hakkında
Dikdörtgende dış noktanın kare bağıntısı, P dikdörtgen dışında iken |AP|2 + |PC|2 = |DP|2 + |PB|2 olduğunu belirtir. TYT–AYT geometride dikdörtgen dış nokta sorularının temelidir; iç nokta versiyonunun doğal uzantısıdır. ÖSYM'de dış noktadan köşelere uzaklık sorularında doğrudan devreye girer.
İspat, [DP]'ye paralel |DP| uzunluğunda [FC] çizilir; ABFP ve DPFC paralelkenarları ile mesafe eşitlikleri kurulup Pisagor uygulanır. İç nokta kare bağıntısı ispatıyla aynı tekniği kullanır; yalnızca inşadaki paralelkenar konumu farklıdır.
Adım adım kanıtı takip ederken inşanın iç nokta ispatından farkına dikkat etmek, koordinat geometride aynı sonucun cebirsel türetimini anlamanıza katkı sağlar. AYT geometride Carnot teoremi ile benzer Pisagor farkı yapısı paylaşır.
Dış nokta versiyonu, TYT–AYT'de dikdörtgen dış nokta mesafe sorularının temelidir. İç nokta ispatıyla aynı paralelkenar inşası tekniğini kullanır; [DP]'ye paralel [FC] çizilerek ABFP ve DPFC paralelkenarları elde edilir. Koordinat geometride aynı sonucun cebirsel türetimi yapılabilir. Dış nokta durumunda inşanın yönü değişir ancak Pisagor adımları özdeştir; TYT sorularında koordinat sistemine geçmeden bu teoremle cebirsel çözüm yapmak süreyi kısaltır.