Yükseklik Üzerindeki Nokta Bağıntısı
ABC üçgeninde [AH] ⊥ [BC] ve P ∈ [AH] iken |AB| = c, |AC| = b, |BP| = x, |PC| = y olmak üzere c2 + y2 = b2 + x2 bağıntısının Pisagor teoremi ile ispatı.
Teorem
ABC bir üçgen; [AH] ⊥ [BC], P ∈ [AH], |AB| = c, |AC| = b, |BP| = x, |PC| = y ise c2 + y2 = b2 + x2 dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Taban parçaları m ve n kabul edilir; PBH, PCH, ABH ve ACH dik üçgenlerinde Pisagor yazılıp dört eşitlik birleştirilir.- 1Veri
ABC bir üçgen; [AH] ⊥ [BC], P ∈ [AH], |AB| = c, |AC| = b, |BP| = x, |PC| = y olsun. |BH| = m ve |HC| = n kabul edelim.
Veri ve tanımlar
- 2Çıkarım
PBH dik üçgeninde Pisagor teoreminden x2 = m2 + |PH|2 (1)
[AH] ⊥ [BC] olduğundan m(BPH) = 90° dir.
- 3Çıkarım
PCH dik üçgeninde Pisagor teoreminden y2 = n2 + |PH|2 (2)
[AH] ⊥ [BC] olduğundan m(PHC) = 90° dir.
- 4Çıkarım
ABH dik üçgeninde Pisagor teoreminden c2 = m2 + |AH|2 (3)
[AH] ⊥ [BC] olduğundan m(AHB) = 90° dir.
- 5Çıkarım
ACH dik üçgeninde Pisagor teoreminden b2 = n2 + |AH|2 (4)
[AH] ⊥ [BC] olduğundan m(AHC) = 90° dir.
- 6Çıkarım
(1) + (4) - (2) - (3) ⇒ x2 + b2 - y2 - c2 = 0
Dört Pisagor eşitliği taraf tarafa birleştirilir; |PH|2 ve |AH|2 terimleri sadeleşir.
- 7Sonuç
c2 + y2 = b2 + x2
Adım 6'daki eşitlik düzenlenir.
Sonuç ∎
Yükseklik üzerindeki nokta bağıntısı: c2 + y2 = b2 + x2 elde edilir. ∎Yükseklik Üzerindeki Nokta Bağıntısı Hakkında
Yükseklik üzerindeki nokta bağıntısı, ABC üçgeninde [AH] ⊥ [BC] ve P ∈ [AH] iken c2 + y2 = b2 + x2 olduğunu belirtir; x = |BP|, y = |PC|. TYT–AYT geometride yükseklik üzerinde hareket eden nokta sorularının temelidir.
İspat, taban parçaları m ve n kabul edilerek PBH, PCH, ABH ve ACH dik üçgenlerinde Pisagor yazılıp dört eşitlik birleştirilir. Pisagor bağıntısını bilmek ön koşuldur. ÖSYM'de yükseklik üzerindeki noktanın kenarlara uzaklığı sorularında bu bağıntı doğrudan uygulanır.
Adım adım kanıtı takip ederken hangi dik üçgende hangi Pisagor eşitliğinin yazıldığına dikkat etmek, benzer cebirsel manipülasyon ispatlarını anlamanıza katkı sağlar.
c2 + y2 = b2 + x2 bağıntısı, yükseklik üzerinde hareket eden P noktası için kenar uzaklıkları arasındaki ilişkiyi verir. TYT–AYT'de yükseklik üzerindeki nokta sorularında dört Pisagor eşitliğini birleştirme tekniği standart çözüm yoludur. ÖSYM'de |BP| ve |PC| verildiğinde kenar uzunlukları arasındaki bağıntıyı kurmak için bu formül kullanılır. İspatın cebirsel manipülasyon yapısı, dikdörtgen iç nokta kare bağıntısı ispatıyla benzer mantık paylaşır.