Dik Yamukta Dik Köşegenler: h² = ab
ABCD dik yamuğunda [AC] ⊥ [BD], |AB| = h, |AD| = a, |BC| = b iken h² = a · b bağıntısının paralelkenar inşası ve Öklid bağıntısı ile ispatı.
Teorem
ABCD bir dik yamuk, [AC] ve [BD] köşegenler, [AC] ⊥ [BD], |AB| = h, |AD| = a, |BC| = b ise h² = a · b dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[BC] doğrultusunda |EB| = a olacak şekilde E noktası alınır; AEBD paralelkenarı ile [AE] // [BD] yazılır; △AEC'te Öklid bağıntısı uygulanır.- 1Yapı
[BC] doğrultusunda |EB| = a olacak şekilde [EB] çizelim; [AE] birleştirilir
İspat inşasının başlangıcı; E, B'nin solunda ve [BC] üzerindedir.
- 2Çıkarım
AEBD bir paralelkenar ⇒ [AE] // [BD]
|EB| = |AD| = a ve [EB] // [AD]; karşılıklı kenarlar eşit ve paralel.
- 3Çıkarım
[AC] ⊥ [BD] ve [AE] // [BD] ⇒ m(CAE) = 90°
[AC] ⊥ [BD] verilmiş; [AE] // [BD] olduğundan [AC] ⊥ [AE], dolayısıyla m(CAE) = 90°.
- 4Sonuç
△AEC'te B, [EC] üzerinde; |EB| = a, |BC| = b, [AB] ⊥ [EC] ⇒ h² = a · b
△AEC dik (A köşesinde); B, [EC] üzerinde ve [AB] ⊥ [EC]; Öklid bağıntısı: h² = |EB| · |BC| = a · b.
Sonuç ∎
Dik yamukta dik köşegenler için h² = a · b elde edilir. ∎Dik Yamukta Dik Köşegenler: h² = ab Hakkında
Dik yamukta dik köşegenler teoremi, [AC] ⊥ [BD] ve |AB| = h, |AD| = a, |BC| = b iken h2 = a·b bağıntısını verir. TYT–AYT geometride dik yamuk sorularının en zarif sonuçlarından biridir; ÖSYM'de dik yamuk köşegen ve yükseklik sorularında doğrudan uygulanır. h2 = ab geometrik ortalama bağlantısı taşır.
İspat, [BC] doğrultusunda |EB| = a olacak şekilde E noktası alınır; AEBD paralelkenarı ile [AE] // [BD] yazılır; diklik ve Pisagor birleştirilerek h2 = ab elde edilir. Pisagor bağıntısını bilmek ön koşuldur. AEBD paralelkenar inşası ispatın yaratıcı yardımcı yapısıdır.
Adım adım ispatı takip ederken geometrik ortalama bağlantısına (h2 = ab) dikkat etmek, yamuk köşegen alan bağıntısındaki m2 = pq ile yapısal benzerliği görmenizi sağlar. AYT geometride geometrik ortalama sorularında bu bağıntı pratik bir kontrol aracıdır.
h2 = ab formülü, TYT–AYT'de dik yamuk sorularının en zarif sonucudur. Geometrik ortalama bağlantısı yamuk köşegen alan bağıntısındaki m2 = pq ile yapısal benzerlik taşır. ÖSYM'de dik yamuk yükseklik sorularında doğrudan uygulanır. h2 = ab geometrik ortalama bağıntısı, dik yamuk sorularında yüksekliği tabanlar cinsinden bulmanın en kısa yoludur; AEBD paralelkenar inşası ispatın yaratıcı adımıdır.