Öklid Bağıntıları
Dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin oluşturduğu a·h = c·b, c² = p·a, b² = k·a, h² = p·k ve 1h² = 1b² + 1c² bağıntılarının benzerlik ile ispatı.
Teorem
ABC dik üçgeninde [AB] ⊥ [AC], [AH] ⊥ [BC] ve a, b, c, h, p, k sırasıyla bulundukları kenarların uzunluklarını göstermek üzere a·h = c·b, c² = p·a, b² = k·a, h² = p·k ve 1h² = 1b² + 1c² dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Hipotenüse indirilen yükseklik ile oluşan küçük üçgenlerin benzerliğinden kenar oranları çıkarılır; alan eşitliği ve Pisagor bağıntısı ile ters kareler bağıntısı elde edilir.- 1Veri
ABC dik üçgen, [AB] ⊥ [AC], [AH] ⊥ [BC] ve |AB| = c, |AC| = b, |BC| = a, |AH| = h, |BH| = p, |HC| = k olsun.
- 2Çıkarım
A(ABC) = 12 · c · b ve A(ABC) = 12 · h · a
Alan, dik kenarlar ve hipotenüs-yükseklik çifti ile hesaplanır.
- 3Çıkarım
a · h = c · b
Adım 2'deki alan ifadeleri eşitlenir; 12 çarpanları sadeleştirilir.
- 4Çıkarım
ABH ~ CBA
m(ABH) = m(CBA) = y ve m(BAH) = m(BCA) = x olduğundan iki açı eşit; A.A. benzerlik.
- 5Çıkarım
|AB||CB| = |BH||AB|⇒ ca = pc⇒ c² = p · a
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar oranları eşittir.
- 6Çıkarım
ACH ~ BCA
m(ACH) = m(BCA) = x ve m(CAH) = m(CBA) = y olduğundan iki açı eşit; A.A. benzerlik.
- 7Çıkarım
|AC||BC| = |CH||AC|⇒ ba = kb⇒ b² = k · a
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar oranları eşittir.
- 8Çıkarım
ABH ~ CAH
m(ABH) = m(CAH) = y ve m(BAH) = m(ACH) = x olduğundan iki açı eşit; A.A. benzerlik.
- 9Çıkarım
|BH||AH| = |AH||CH|⇒ ph = hk⇒ h² = p · k
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar oranları eşittir.
- 10Çıkarım
a² = b² + c²
Pisagor bağıntısı — (1)
- 11Çıkarım
a · h = b · c ⇒ a² · h² = b² · c²
Adım 3'ten her iki tarafın karesi alınır — (2)
- 12Çıkarım
(b² + c²) · h² = b² · c²
(1) ifadesindeki a², (2)'de yerine yazılır.
- 13Sonuç
1h² = 1b² + 1c²
Her iki taraf b² · c² ile bölünerek ters kareler bağıntısı elde edilir.
Sonuç ∎
Dik üçgende a·h = c·b, c² = p·a, b² = k·a, h² = p·k ve 1h² = 1b² + 1c² bağıntıları elde edilir. ∎Öklid Bağıntıları Hakkında
Öklid bağıntıları, ABC dik üçgeninde [AH] ⊥ [BC] iken h2 = p·k, c2 = p·a ve b2 = k·a formüllerini verir; burada p ve k hipotenüsün ayırdığı parçalar, h yüksekliktir. TYT geometride dik üçgen sorularının en pratik araç setidir; ÖSYM'de yükseklik, projeksiyon ve alan sorularında doğrudan uygulanır.
İspat, hipotenüse indirilen yükseklikle oluşan küçük üçgenlerin benzerliğinden kenar oranları çıkarır. Pisagor bağıntısını bilmek faydalıdır. AYT geometride Öklid bağıntıları, cosinüs teoremi ve iç açıortay uzunluk formülünün özel durumlarıyla ilişkilidir.
Adım adım ispatı takip ederken hangi benzerlikten hangi oranın geldiğini not etmek, benzerlik tabanlı ispatları (iç açıortay teoremi, Menelaus) anlamanıza katkı sağlar.
Öklid bağıntıları, TYT'de dik üçgende yükseklik sorularının standart araç setidir; h2 = p·k formülü en sık kullanılanıdır. AYT'de cosinüs teoremi ve iç açıortay uzunluk formülünün özel durumları Öklid bağıntılarına indirgenir. ÖSYM'de hipotenüs parçaları ve yükseklik verildiğinde kenar uzunluğu bulma sorularında bu formüller doğrudan devreye girer. Benzerlik tabanlı ispat yapısını anlamak, iç açıortay teoremi ispatına geçişi kolaylaştırır.