Teğetler Dörtgeni Kenar Bağıntısı
ABCD teğetler dörtgeninde O merkezli çembere değme noktaları K, L, M, N iken |AB| = a, |BC| = b, |CD| = c, |DA| = d olmak üzere a + c = b + d bağıntısının teğet parçaları ile ispatı.
Teorem
ABCD bir teğetler dörtgeni; ABCD nin O merkezli çembere değme noktaları K, L, M, N; |AB| = a, |BC| = b, |CD| = c, |DA| = d ise a + c = b + d dir.Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Her köşeden çembere çizilen teğet parçalarının eşitliği yazılır; dört denklem taraf tarafa toplanarak a + c = b + d elde edilir.- 1Veri
ABCD bir teğetler dörtgeni; O merkezli çember AB, BC, CD, DA kenarlarına sırasıyla K, L, M, N noktalarında teğet olsun; |AB| = a, |BC| = b, |CD| = c, |DA| = d
Veri; teğet noktaları tanımlanır.
- 2Çıkarım
|AK| = |AN| (1)
Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşittir.
- 3Çıkarım
|BK| = |BL| (2)
Aynı teğet parçası özelliği B köşesi için uygulanır.
- 4Çıkarım
|CM| = |CL| (3)
Aynı teğet parçası özelliği C köşesi için uygulanır.
- 5Çıkarım
|DM| = |DN| (4)
Aynı teğet parçası özelliği D köşesi için uygulanır.
- 6Çıkarım
(1), (2), (3) ve (4) taraf tarafa toplanırsa |AK| + |BK| + |CM| + |DM| = |AN| + |DN| + |BL| + |CL|
Eşitliklerin her iki tarafı aynı anda toplanır.
- 7Sonuç
a + c = b + d
|AK| + |BK| = a, |CM| + |DM| = c, |AN| + |DN| = d, |BL| + |CL| = b olduğundan sadeleştirilir.
Sonuç ∎
Teğetler dörtgeni kenar bağıntısı: a + c = b + d elde edilir. ∎Teğetler Dörtgeni Kenar Bağıntısı Hakkında
Teğetler dörtgeni kenar bağıntısı — Pitot teoremi —, ABCD teğetler dörtgeninde a + c = b + d olduğunu belirtir. TYT–AYT geometride teğetler dörtgeni sorularının temel sonucudur.
İspat, her köşeden çembere çizilen teğet parçalarının eşitliği yazılır; dört denklem taraf tarafa toplanarak karşılıklı kenar toplamları eşitlenir. Teğet parçası eşitliğini bilmek yeterlidir. ÖSYM'de teğetler dörtgeni çevre ve kenar sorularında doğrudan uygulanır.
Adım adım ispatı takip ederken dört teğet denkleminin nasıl sadeleştiğine dikkat etmek, kirişler dörtgeni karşılıklı açılar teoremiyle birlikte okunduğunda çember dörtgen ailesinin bütünlüğünü görmenizi sağlar.
a + c = b + d (Pitot teoremi), TYT–AYT'de teğetler dörtgeni sorularının temelidir. ÖSYM'de dört teğet parçası verildiğinde bilinmeyen kenar doğrudan bulunur. Teğet parçası eşitliği ispatın anahtar adımıdır. Pitot teoremi (a+c = b+d) teğetler dörtgeni sorularında kenar bulmanın en hızlı yoludur; dört teğet parçası eşitliğini yazmak ispatın başlangıç adımıdır. Teğetler dörtgeni sorularında dört teğet parçası eşitliği yazıldıktan sonra taraf tarafa toplama ile a+c=b+d elde edilir; Pitot teoremi TYT sorularında doğrudan uygulanır.