Kirişler Dörtgeni Karşılıklı Açılar Teoremi
ABCD kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar toplamının 180° olduğunun çevre açı teoremi ve yay toplamı ile ispatı.
Teorem
A, B, C, D noktaları O merkezli çember üzerinde ve ABCD bir kirişler dörtgeni olmak üzere, m(ABC) + m(ADC) = m(DAB) + m(DCB) = 180° dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
Yaylar α, β, γ, θ ile köşe açıları çevre açı teoremiyle yazılır; yayların toplamı 360° olduğundan karşılıklı açı toplamları 180° bulunur.- 1Yapı
AB yayının ölçüsü α, BC yayının ölçüsü γ, CD yayının ölçüsü θ, DA yayının ölçüsü β olsun
Dört yayı tanımlayarak çevre açıları yay cinsinden yazılacaktır.
- 2Çıkarım
m(ABC) = β + θ2, m(ADC) = α + γ2, m(DAB) = θ + γ2, m(DCB) = β + α2
Çevre açı teoremi: bir çevre açı, gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır.
- 3Çıkarım
α + β + θ + γ = 360° ⇒ α + β + θ + γ2 = 180° (1)
Dört yay çemberi tamamlar; her iki taraf 2'ye bölünür.
- 4Çıkarım
m(ABC) + m(ADC) = β + θ2 + α + γ2 = α + β + θ + γ2 = 180°
(1) denklemi kullanılır.
- 5Çıkarım
m(DAB) + m(DCB) = θ + γ2 + β + α2 = α + β + θ + γ2 = 180°
Aynı şekilde (1) denklemi uygulanır.
- 6Sonuç
m(ABC) + m(ADC) = m(DAB) + m(DCB) = 180°
Adım 4 ve 5 birleştirilir.
Sonuç ∎
Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar toplamı 180° dir: m(ABC) + m(ADC) = m(DAB) + m(DCB) = 180°. ∎Kirişler Dörtgeni Karşılıklı Açılar Teoremi Hakkında
Kirişler dörtgeni karşılıklı açılar teoremi, ABCD kirişler dörtgeninde m(ABC) + m(ADC) = 180° (ve m(DAB) + m(BCD) = 180°) olduğunu belirtir. TYT–AYT geometride çember dörtgen sorularının temelidir.
İspat, yaylar α, β, γ, θ ile köşe açıları çevre açı teoremiyle yazılır; yayların toplamı 360° olduğundan karşılıklı açı toplamı 180° elde edilir. Çevre açı teoremi ön koşuldur. ÖSYM'de kirişler dörtgeni açı ve kenar sorularında doğrudan uygulanır.
Adım adım ispatı takip ederken her köşe açısının hangi iki yayı "gördüğüne" dikkat etmek, teğetler dörtgeni (a + c = b + d) ile karşılaştırma yapmanıza yardımcı olur.
Karşılıklı açılar toplamı 180° kuralı, TYT–AYT'de kirişler dörtgeni sorularının temelidir. ÖSYM'de dörtgen çembere içten çizildiğinde karşılıklı açıları bulmak için çevre açı teoremi kullanılır. Teğetler dörtgeni (a + c = b + d) ile karşılaştırma yapmak kavramsal derinlik kazandırır. Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar toplamı 180° kuralı, teğetler dörtgeni Pitot teoremiyle birlikte okunduğunda çember dörtgen ailesinin tam resmini verir. Kirişler dörtgeni sorularında bir açı bilindiğinde karşılık açı 180°−α olarak yazılır; yay toplamı 360° olması ispatın cebirsel adımının gerekçesidir.