Kesişen Kirişler İç Kuvvet Teoremi
O merkezli çemberde [AC] ∩ [BD] = P, |AP| = x, |PC| = y, |BP| = z, |PD| = t iken x · y = z · t bağıntısının çevre açı ve benzerlik ile ispatı.
Teorem
A, B, C, D noktaları O merkezli çember üzerinde olmak üzere, [AC] ∩ [BD] = P, |AP| = x, |PC| = y, |BP| = z, |PD| = t ise x · y = z · t dir.Bu İspatı Anlamak İçin Önce Şunları Öğren
Adım Adım İspat
İspat Yöntemi
[AB] ve [DC] birleştirilir; çevre açı teoremiyle eş açılar bulunur; △ABP ~ △DCP benzerliği kurularak x · y = z · t elde edilir.- 1Yapı
A ile B noktalarını birleştiren [AB] doğru parçasını, D ile C noktalarını birleştiren [DC] doğru parçasını çizelim
İspat inşası; yardımcı üçgenler ABP ve DCP oluşturulur.
- 2Veri
m(BAC) = α
Veri ve tanım.
- 3Çıkarım
BC yayının ölçüsü 2α ⇒ m(BDC) = α
Çevre açı teoremi: bir yayın ölçüsünün yarısı, o yayı gören çevre açının ölçüsüdür.
- 4Çıkarım
m(DBA) = θ ⇒ m(ACD) = θ
AD yayını gören çevre açılar eşittir.
- 5Çıkarım
△ABP ~ △DCP
İki açısı eşit olduğundan A.A. benzerlik.
- 6Çıkarım
ABP ~ DCP ⇒ |BP||CP| = |AP||DP| ⇒ zy = xt
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar oranları eşittir.
- 7Sonuç
x · y = z · t
Adım 6'daki oran çapraz çarpım yapılarak sadeleştirilir.
Sonuç ∎
Kesişen kirişler iç kuvvet teoremi: x · y = z · t elde edilir. ∎Kesişen Kirişler İç Kuvvet Teoremi Hakkında
Kesişen kirişler iç kuvvet teoremi, [AC] ∩ [BD] = P iken |AP|·|PC| = |BP|·|PD| bağıntısını verir. TYT–AYT geometride çember oran sorularının temelidir; ÖSYM'de kiriş uzunluğu ve kesim noktası mesafe sorularında doğrudan kullanılır.
İspat, [AB] ve [DC] birleştirilir; çevre açı teoremiyle eş açılar bulunur; △ABP ~ △DCP benzerliği kurularak oran elde edilir. Kesişen kirişler açı teoremi ön koşuldur. Teğet–kiriş kuvvet teoremi ve dış kuvvet teoremi bu yapının uzantılarıdır.
Adım adım ispatı takip ederken benzerlik kurulumunun hangi eş açılara dayandığına dikkat etmek, çember kuvvet teoremleri ailesini bütünleşik anlamanıza yardımcı olur.
|AP|·|PC| = |BP|·|PD| bağıntısı, TYT–AYT'de kesişen kirişler sorularının temelidir. ÖSYM'de dört parça uzunluğu verildiğinde bilinmeyen doğrudan bulunur. Benzerlik ispatı, teğet–kiriş kuvvet teoremi ispatıyla aynı tekniği paylaşır. Dört parça uzunluğundan biri bilinmiyorsa çarpım eşitliği tek adımda sonuç verir; benzerlik kurulumunun hangi eş açılara dayandığını ispat adımlarından takip edin. Kesişen kirişler sorularında bilinmeyen parça genellikle çarpım eşitliğinden tek adımda bulunur; ispatı okurken △ABP ~ △DCP benzerliğinin hangi eş açılara dayandığını not edin.